Terug wie ben ik  

   

mod_eprivacy  

   

Ingelogd  

   

Wie is aanwezig  

We hebben 705 gasten en geen leden online

   

Gastenboek pa2cjh  

   
×

Bericht

EU e-Privacy Directive

This website uses cookies to manage authentication, navigation, and other functions. By using our website, you agree that we can place these types of cookies on your device.

View e-Privacy Directive Documents

View GDPR Documents

You have declined cookies. This decision can be reversed.
Ster inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactief
 

  1. Inleiding

    Een paar weken terug vertelde ik kort iets over een Duits boek dat in de jaren dertig was geschreven voor een ingenieurs opleiding in de hoogfrequente elektronica. Een paar zaken waren me opgevallen, reden om er over te beginnen. Als eerste het zeer hoge niveau van de theorie. Impliciet veronderstelt de schrijver een zeer gedegen kennis van de noodzakelijke natuur – en wiskunde. Voor elektromagnetisme is dat in het algemeen niet mis. Behalve de gewone differentiaal en integraalrekening is een goede kennis van wiskunde-analyse en vectorwiskunde nodig. En passant is er ook nog wat kennis van de speciale relativiteitsleer nodig om het verband tussen elektriciteit en magnetisme een fysisch-mathematische -wiskundig model te kunnen geven. Achteloos worden zo een paar korte opmerkingen als inleiding op een diepgaande analyse losgelaten. Dat je het maar weet en goed actief paraat hebt. Ten tweede moest ik weer even terug denken aan een grote ergernis van mijn studietijd –ook al weer meer dan bijna vijftig jaar geleden – het gebruik van een ander eenhedenstelsel. Tegenwoordig horen we in de wetenschap en in de techniek gebruik te maken van een internationaal afgesproken serie eenheden en grootheden die allemaal zo goed mogelijk gedefinieerd en bekend zijn. Voorbeelden zijn de kilogram, de meter en de Ampère. Met een klein setje standaardeenheden kunnen we de hele natuurkunde aan. Hoe dat precies zit is een verhaal apart. Het genoemde boek gebruikt echter nog eenheden die teruggaan op een oude praktijk uit de tijden dat de onderliggende theorie gestalte kreeg, in de laatste helft van de negentiende eeuw dus. Het zijn zogenaamde elektrostatische en elektromagnetische eenheden. Een aantal komt ook tegenwoordig –om de verwarring steeds te vergroten en onuitroeibaar ondanks afspraken - nog steeds voor. Ik noem als voorbeeld de Gauss, StatCoulomb, Oerstedt en Gilbert. Wat het boek betreft tenslotte: de nazi’s hebben in Duitsland ook het gewone Arabische schrift ingevoerd, alleen bleven hier en daar wat symbolen in het fractur-schrift over. Bij natuurkunde wel handig om speciale zaken te noteren zoals vectoren, bijzondere functies en operatoren. Je moet er wel even goed aan wennen. Tja, en zoals overal in wetenschap en techniek komen er allerlei getallen en constanten voor.
    Sinds de tijden van de Verlichting –de tijden van Diderot en Descartes en ook Huygens en Newton – is de empirische wetenschap opgekomen. We willen alles meten en in getallen en maten vatten om onze theorieën te toetsen en in wetmatigheden over te voeren. Het hemelse horloge van Descartes en Newton is er een prachtige illustratie van. Ik ga voor mijn serie praatjes dan ook beginnen met een eerste noodzakelijke onderdeel van ons beschrijvende wereldmodel zoals dat nu gestalte heeft gekregen.
    Hoewel uiterst essentieel hebben we de basis –tellen – als een impliciete kennis zonder achtergrond opgedaan op de lagere school. Tegenwoordig is ook bij het vervolgonderwijs helaas geen tijd en noodzaak meer te vinden om de cultureel-historische wetenschapsfilosofische achtergrondkennis van dit soort zaken uit te diepen. We kunnen mijns inziens echter voor een beter begrip absoluut niet zonder deze historische kennis ook in dwarsverbanden. Hoewel ik ergens later in mijn serie radiopraatjes in het voornet dus bij meer hoogfrequente aangelegenheden wil uitkomen moet ik ergens in de krochten van de eerste menselijke cognitieve vaardigheden duiken. Tellen en getallen.

Beste OM Gast,

NEDERLANDSTALIG AMATEURNET

Serie causerieën over voor amateurs toch hopelijk interessante onderwerpen door Dick, PA2DTA
Het NTA bestaat dit jaar zo’n 45 jaar. Het is sinds het begin een ontmoetingsplaats geweest. Ook was er soms een radiomarkt, een technische vragenronde, maar altijd een uurtje inmelden onder leiding van een netleider. Alweer geruime tijd geleden stelde PA3DFV in het zogenaamde voornet voor om dat halfuurtje iets meer te laten zijn dan een klein netje; er zou aandacht kunnen komen voor wat techniek of zaken die de amateur zouden kunnen boeien. Iedereen vond dat een prima idee, echter bleven spontane aanbiedingen om het voortouw te nemen uit. Omdat er toch regelmatig interessante vragen werden opgeworpen leek het me na lang denken wel leuk om eens met iets dergelijks te beginnen. Een wat andere opzet van het voornet en al vast een manier om de frequentie een beetje schoon te vegen. Vanwege mijn loopbaan in onderwijs en wetenschap is het niet zo moeilijk om onderwerpen te verzinnen, echter je hebt geen illustratiemogelijkheden en ook nauwelijks directe interactie. Toch maar proberen. Per week zal ik een stuk aan mijn verhaal breien, we komen uiteindelijk vast wel bij wat radiotechniek uit. Om niet alle onderwerpen te laten verdwijnen in de HF-cloud zijn de teksten ook beschikbaar via PA2CJH’s website Om nog eens na te lezen en een beetje bij te blijven..

Inleiding

Een paar weken terug vertelde ik kort iets over een Duits boek dat in de jaren dertig was geschreven voor een ingenieurs opleiding in de hoogfrequente elektronica. Een paar zaken waren me opgevallen, reden om er over te beginnen. Als eerste het zeer hoge niveau van de theorie. Impliciet veronderstelt de schrijver een zeer gedegen kennis van de noodzakelijke natuur – en wiskunde. Voor elektromagnetisme is dat in het algemeen niet mis. Behalve de gewone differentiaal en integraalrekening is een goede kennis van wiskunde-analyse en vectorwiskunde nodig. En passant is er ook nog wat kennis van de speciale relativiteitsleer nodig om het verband tussen elektriciteit en magnetisme een fysisch-mathematische -wiskundig model te kunnen geven. Achteloos worden zo een paar korte opmerkingen als inleiding op een diepgaande analyse losgelaten. Dat je het maar weet en goed actief paraat hebt. Ten tweede moest ik weer even terug denken aan een grote ergernis van mijn studietijd –ook al weer meer dan bijna vijftig jaar geleden – het gebruik van een ander eenhedenstelsel. Tegenwoordig horen we in de wetenschap en in de techniek gebruik te maken van een internationaal afgesproken serie eenheden en grootheden die allemaal zo goed mogelijk gedefinieerd en bekend zijn. Voorbeelden zijn de kilogram, de meter en de Ampère. Met een klein setje standaardeenheden kunnen we de hele natuurkunde aan. Hoe dat precies zit is een verhaal apart. Het genoemde boek gebruikt echter nog eenheden die teruggaan op een oude praktijk uit de tijden dat de onderliggende theorie gestalte kreeg, in de laatste helft van de negentiende eeuw dus. Het zijn zogenaamde elektrostatische en elektromagnetische eenheden. Een aantal komt ook tegenwoordig –om de verwarring steeds te vergroten en onuitroeibaar ondanks afspraken - nog steeds voor. Ik noem als voorbeeld de Gauss, StatCoulomb, Oerstedt en Gilbert. Wat het boek betreft tenslotte: de nazi’s hebben in Duitsland ook het gewone Arabische schrift ingevoerd, alleen bleven hier en daar wat symbolen in het fractur-schrift over. Bij natuurkunde wel handig om speciale zaken te noteren zoals vectoren, bijzondere functies en operatoren. Je moet er wel even goed aan wennen. Tja, en zoals overal in wetenschap en techniek komen er allerlei getallen en constanten voor.
Sinds de tijden van de Verlichting –de tijden van Diderot en Descartes en ook Huygens en Newton – is de empirische wetenschap opgekomen. We willen alles meten en in getallen en maten vatten om onze theorieën te toetsen en in wetmatigheden over te voeren. Het hemelse horloge van Descartes en Newton is er een prachtige illustratie van. Ik ga voor mijn serie praatjes dan ook beginnen met een eerste noodzakelijke onderdeel van ons beschrijvende wereldmodel zoals dat nu gestalte heeft gekregen.
Hoewel uiterst essentieel hebben we de basis –tellen – als een impliciete kennis zonder achtergrond opgedaan op de lagere school. Tegenwoordig is ook bij het vervolgonderwijs helaas geen tijd en noodzaak meer te vinden om de cultureel-historische wetenschapsfilosofische achtergrondkennis van dit soort zaken uit te diepen. We kunnen mijns inziens echter voor een beter begrip absoluut niet zonder deze historische kennis ook in dwarsverbanden. Hoewel ik ergens later in mijn serie radiopraatjes in het voornet dus bij meer hoogfrequente aangelegenheden wil uitkomen moet ik ergens in de krochten van de eerste menselijke cognitieve vaardigheden duiken. Tellen en getallen.

Tellen en getallen
Van de prehistorische mens weten we betrekkelijk weinig. De facto niets; alleen door met begrip en spiegelen terug te kijken kunnen we een plausibele beschrijving, een soort afbeelding, van onze voorgangers- soortgenoten maken. Bedenk dat er tienduizenden jaren geleden (daar gebruik ik al een hoeveelheidsaanduiding en een eenheid) heel weinig mensen op de wereld rondliepen. Het waren nomadische jagers/verzamelaars die ongetwijfeld met behulp van taal hebben gecommuniceerd en hun wereld voor zover nodig middels begrippen in kaart hebben gebracht. Pas na het ontstaan van sedentaire samenlevingsvormen en toegepaste landbouw kwam tevens een handelscultuur –eerst vermoedelijk ruilhandel - op. Het is de mens kennelijk eigen om van nature te groeien naar grotere en meer diverse en complexere samenlevingen waarin enige vorm van economische activiteit met de daaraan verbonden waarden en normen ontstaat. Een complexe handel vergt dat je weet wat je koopt en verkoopt. Je moet dus tellen, wegen, ijken en rekenen. Uit zeer vroege vondsten uit de regionen rond Eufraat en Tigris (het begin van de historie dus) weten we dat daar boekhouders waren die hun zaken ook op schrift zetten: spijkerschrift. Taal en schrift werden en zijn met elkaar verbonden. In alle talen onderscheid men verschillende specifieke aanduidingen.
Een kwantor of numerale is een aanduiding die bepaalde woorden en begrippen die met tellen en aantallen samenhangt aangeeft. De bekende grap – en deze zin - over iemand die 1,2,3, veel telt bevat er een paar. Onze geschreven symbolen, cijfers, staan voor een getals- of hoeveelheids aanduiding. We hebben ze geleerd als hoofdtelwoorden. We kennen ook rangtelwoorden (eerste , tweede) en onbepaalde telbijwoorden (veel, beetje). Onze manier van tellen is langzaam ontstaan. Net als de manier waarop we het opschrijven en er mee rekenen (hoofd, acabus, telraam, rekenliniaal, zakjapanner, computer). Eerst kenden we alleen natuurlijke getallen (die kun je aanwijzen). De Indiërs hebben de NUL (0) uitgevonden, de handelaren en boekhouders negatieve getallen, om schulden mee aan te geven.
Al die getallen, dat zijn er nogal wat. Je noemt ze naar zichzelf. We hebben dus de natuurlijke getallen 1,2,…..100…..10100 (googol)….tot ∞ (oneindig). Dan heb je die toch wel bijzondere NUL, want zonder die hadden we geen negatieve getallen. Daarvan zijn er ook heel veel. Hoeveel? Ook oneindig veel, tel maar door en terug, aftellen heet dat. Deze hele grote hoeveelheid getallen samen zijn de gehele getallen. Deel je twee getallen op elkaar dan krijg je breuken ofwel rationale getallen. Daarvan heb je een paar soorten. Sommige breuken komen uit, als je ze uitschrijft. Andere niet, die krijgen oneindig veel cijfers achter de komma (ik introduceer hier stilzwijgend een tientallige, decimale manier van tellen en noteren). Soms herhalen zich patronen, soms niet.
VB: ½ = 0,5000 1/3 = 0,3333333 (eindeloos door) of 0,123412341234…….
Er blijken ook getallen te zijn die je niet als een breuk van twee andere kunt schrijven. Dat type getal heet irrationaal. Voorbeelden zijn PI, e (grondtal natuurlijke logaritmen) en wortel 2. Kijk maar eens met een rekenmachientje naar die getallen. Als amateur ben je dergelijke getallen alvast wel eens tegengekomen. Alle typen die ik tot nu toe genoemd heb heten samen de reële getallen. Je kunt al dit soort getallen proberen af te zetten op een liniaal (denk aan de duimstok, daar staan centimeters en millimeters op, daar tussen staan in feite nog meer getalletjes). Zo’n lijn heet een getallenrechte. Je kunt alle reële getallen er ééndimensionaal op afbeelden. Er bestaan ook getallen die je in een vlak kunt, zelfs moet, afbeelden. Dan gebruik ik stilzwijgend Euclidische meetkunde! Figuren met linialen, passers, driehoeken, cirkels etc. Het soort getallen dat je in een vlak (met twee assen) moet afbeelden noemt men irreële of complexe getallen. Ik loop vooruit op de gebruikelijke notatie daarvoor z = a + bi; a en b zijn gewone getallen. Het getalletje i heeft vreemde eigenschappen. Zo is het kwadraat ervan -1 en betekent de vermenigvuldiging ermee een draaiing over 90 graden. Komt dat je niet bekend voor uit de wisselstroomtheorie?
Soms heb je aan een vlak niet genoeg en moet je een bepaalde ruimtelijke figuur gebruiken om een getal af te beelden. Meestal doen we dat in een orthogonaal stelsel, dus met onderling loodrechte assen, denk aan een kubus. Je hebt dan bij voorbeeld te maken met quaternionen. Je kunt er niet meer met gewone rekenkunst mee rekenen. Er bestaat een speciale tak van sport in de wiskunde voor die onder verschillende namen al of niet uitgebreid wordt behandeld zoals vector, tensor, of matrix rekenen. Daarmee geef ik ook al aan dat getallen, wiskunde, algebra met elkaar te maken hebben. De verschillende soorten getallen die er bestaan zijn dan bepaalde oplossingen van algebraïsche vergelijkingen die terug te voeren zijn op een zogenaamde polynoom:
F = a0 + a1X + a2 X2 + a3X3 + a4X4 + ………+an-1Xn-1 + anXn
Degenen die op de middelbare school ouderwetse wiskunde hebben gehad zullen er wel bekende stukken in zien en weten hoe ze bv een vergelijking van de tweede graad op moeten lossen. Dat kon je alleen als er voldaan was aan een voorwaarde; anders kon je niet verder. Dat kon natuurlijk wel, en dan kreeg je complexe oplossingen.

Je kunt alle getallen ook behandelen vanuit de verzamelingenleer. Die is in de negentiende eeuw ontwikkeld en grote namen erbij zijn o.a. Georg Cantor en David Hilbert. Tegenwoordig wordt een deel van de middelbare school wiskunde gericht op verzamelingen. Dat heeft zeker te maken met de opkomst van logische schakelingen en computers.
Getallen die zo logisch lijken te zijn ontstaan uit tellen blijken een aantal inherente vreemde of mooie eigenschappen te hebben waarvan we nog lang niet alles ontdekt hebben. We kennen allemaal de begrippen even, oneven en priem. Er zijn allemaal wetmatigheden en ook veel vermoedens. Denk eens aan de stellingen van Fermat (is zn = an + bn altijd oplosbaar?) of het vermoeden van Goldbach (verdeling van priemgetallen op de getallenrechte). Ook het begrip oneindig komt voort uit de getaltheorie. Je kunt immers maar doorgaan met tellen van alle natuurlijke getallen. Aftellen heet dat. Maar hoe groot is oneindig dan. Er zijn oneindig veel even getallen, maar ook oneindig veel oneven. Is oneindig plus 1 ook oneindig maar eentje meer? Is twee maal oneindig ook oneindig?? Cantor en Hilbert hebben over die maat van oneindigheid nagedacht en een manier gevonden het als het ware te tellen. Het begrip daarvoor is kardinaliteit (symbool א alef). Daarover aan het slot van dit stukje iets meer. Eerst iets over het noteren van getallen.

Tal- Stelsels.
De Sumeriers gebruikten een voor ons ingewikkelde manier om hun cijfers en getallen te noteren. In de loop der eeuwen zijn er nogal wat manieren geweest. Een paar kennen we wel. In de kroeg gebruiken we een systeem met paaltjes op een bierviltje. Duidelijk en begrijpelijk voor iedereen. Het lijkt op tellen met je vingers. Het is zelfs vijftallig, het grondtal is vijf. Na vier paaltjes met een erdoor begin je aan een nieuw rijtje. De Romeinen hadden symbolen voor 1 (I), 10 (X), vijftig (L), vijfhonderd (D) en duizend (C), waarin de plaats in de rij soms iets betekende, soms ook niet. Op gebouwen gebruiken we nog vaak iets als A(nno)D(omini) DCXLIII (1543). Onze manier van klokkijken berust op een zestigtallig stelsel, net als de hoeken op het kompas (een paar keer rond kun je niet aangeven en moet je dus apart noteren, bij de klok in 12 of 24 uren). Pas in de tijd van de grote Napoleon heeft men het decimale stelsel ingevoerd. Dus alles verdelen in brokken van 10 of 1/10. Ook vanaf toen heeft men maten en gewichten proberen universeel toe te passen. Dat is nog steeds niet helemaal gelukt. Ergens terug noemde ik de oude eenheden in het Duitse boek. Er is een marslander verongelukt doordat er in meters en inches werd gerekend! Een kostbare vergissing. Wij danken er nu toch al onze voorzetsels voor maten en gewichten aan. Nederland was zelfs haantje de voorste met invoeren. Millimeter, centimeter, hectometer, kilometer, picofarad, terawatt. Het zijn allemaal eenheden genoteerd in machten van tien. Zo hebben ook alle ronde getallen nog allemaal een naam gekregen, helaas volgens twee systemen. Zo is een biljoen niet overal evenveel. (Bij ons 1012; bij GB en USA 109 een miljard dus)
Voor onze notatie van getallen gebruiken we ook een tientallig positie stelsel op basis van grondtal 10. De plaats van een getalletje in de rij van cijfers geeft zijn absolute grote aan in machten van tien en alle stukjes te samen tellen we op.
123,123 staat voor 1x10E2 + 2x10E1 + 3x10E0 + 1x10E-1 + 2x10E-2+3x10E-3 =
1 x 100 + 2 x 10 + 3 x 1 + 1 x 0,1 + 2 x 0,01 + 3 x 0,001 = 123,123
We gebruiken positiestelsels ook voor bv het binaire, octale en hexadecimale stelsel. Dat zijn stelsels op basis van grondtal 2, 8 of 16. Omdat we “maar” 10 cijfers hebben, moeten we voor het hexadecimale stelsel ook nog de letters A t/m F gebruiken.
Als voorbeeld 111,111 = 1x2E2 + 1x2E1 + 1x2E0 + 1x2E-1 +1x2E-2 + 1x2E-3 = 7,875 in het decimale stelsel.
Het binaire stelsel dat alleen enen en nullen kent, is heel erg handig voor computer schakelingen, waar je vaak met aan en uit te maken hebt. Aan/uit/en/of/niet-en, niet-of etc zijn logische operatoren die je met enen en nullen volgens een aparte en bijzonder wiskunde van Boole en Karnaugh kunt laten rekenen. Een wiskunde die ook al in de negentiende eeuw werd bedacht. Logische operatoren komen uit de verzamelingenleer die ik al eerder noemde. Behalve uitermate abstract is de verzamelingenleer ook meetkundig georiënteerd. Behalve met zogenaamde waarheidstabellen uit de logische wiskunde zie je ook vaak plaatjes om iets duidelijk te maken.

Transfiniet, transcendent.
Getallen kunnen soms wel en soms niet als oplossing uit een zogenaamde algebraïsche vergelijking, een polynoom, komen. Als het niet kan heet het getal transcendent. Het woord suggereert al dat ze “vreemde” eigenschappen hebben. Je kunt bewijzen dat er een aftelbaar aantal algebraïsche en overaftelbare aantallen trancendente getallen zijn (Hier komt weer het begrip kardinaliteit opduiken. Aftelbare aantallen hebben kardinaliteit א0, overaftelbare kardinaliteit א1) Ze zijn tevens irrationaal (dus geen eindige breuken). Het zijn moeilijke begrippen. Ook kom je dan weer het begrip kardinaliteit tegen in een tak van sport die de continuiteitsstelling heet. Werk van Cantor en Hilbert. Transcendent, transfiniet (over-oneindig) en oneindig bleven lang onduidelijke en moeilijk te begrijpen zaken. Hilbert heeft er een grappige illustratie voor bedacht. Hilberts-hotel.
Hilberts Hotel. Het heeft een oneindig aantal kamers. En het is vol!
Er komt een late gast. Die kan erbij want als alle gasten één kamer opschuiven komt er precies de extra kamer vrij en oneindig plus 1 is immers oneindig. Nu komt er een volle bus met een oneindig aantal passagiers om overnachting. Geen probleem. De receptionist vraagt alle gasten om naar hun kamernummer te kijken, het met twee te vermenigvuldigen en naar de desbetreffende kamer te verhuizen. Dat kan want er zijn oneindig veel even kamers. (2 x een getal is altijd even). Bovendien komen nu alle oneven kamers vrij, ook minstens oneindig veel. Klaar. Verdorie nu komt midden in de nacht nog een oneindig aantal bussen met elk een oneindig aantal personen aan. Toch een probleem? Nee! Kijk maar. Weer actie x twee. Alle oneven kamers zijn weer over. Kamer No1 is even geworden. Neem alle kamers met machten van 3 (allemaal oneven, reken maar na) zijn voor bus no 1; alle machten van 5 voor bus twee; derde bus in machten van zeven en zo kun je de oneindige rij bussen met oneindig veel gasten opbergen in alle machten van de priemgetallen. Je weet dat dat kan immers de priemen zijn niet te ontbinden in even getallen en de machten vallen nergens samen.. Ze passen overal er precies tussen in. Hoe ze er precies tussen vallen is dan weer een probleem, want de afstanden tussen alle priemen is nog in onderzoek.
Leuke gedachten experimenten natuurlijk. Maar wat heb je eraan? Afgezien van het feit dat het (voor sommigen) net zo leuk is als scrabble of met radio’s knutselen, heeft het wel degelijk verbanden met de realiteit. Uw hele wereld met de computer, SDR, webradio, bankpas, cryptografie, CD etc. draait op de onderliggende rekenarij en wiskunde. Geef tegenwoordig een microprocessor rekensnelheid en geheugen en het ding kan (bijna) alles aan. Grappig en raadselachtig dat je door het bedenken van getallen alleen zoveel ingebakken vreemde eigenschappen cadeau krijgt.

Dick vd Berg pa2dta

   

Website Laatst Gewijzigd

Last Modified: dinsdag 12 februari 2019, 07:50:43.
   
© 2017 Kees Haremaker