Terug wie ben ik  

   

mod_eprivacy  

   

Ingelogd  

   

Wie is aanwezig  

We hebben 733 gasten en geen leden online

   

Gastenboek pa2cjh  

   
×

Bericht

EU e-Privacy Directive

This website uses cookies to manage authentication, navigation, and other functions. By using our website, you agree that we can place these types of cookies on your device.

View e-Privacy Directive Documents

View GDPR Documents

You have declined cookies. This decision can be reversed.
Ster inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactief
 

Beste om Gast,

Formules en functies

De vorige keren heb ik bij alle voorbeelden nauwelijks extra symbolen gebruikt in de voorbeelden. Op enkele “automatische” uitzondering na. Zelfs met en na de eerste inleiding was het wel duidelijk dat wiskunde een belangrijk gereedschap is om de natuurwetenschappen bondig en algemeen te formuleren. Natuurkunde op zich is al moeilijk genoeg en dan is er ook nog zoiets als lastig gereedschap nodig. Vroeger zei ik vaak en ik herhaal dat hier nog maar eens: natuurkunde is de moeder der wetenschappen en wiskunde is de schoonmoeder; je krijgt het ongewenste familielid er altijd bij. Toch is er iets verzachtends te melden. Veel schoonmoeders vallen bij nader inzien wel mee. De mens lijdt het meest aan het lijden dat hij vreest. Er is veel vrees voor “die moeilijke onbegrijpelijke wiskunde”. Ik heb jaren dit soort vermeend moeilijke dingen moeten uitleggen ook aan niet-beta’s en altijd gezegd dat begrip het belangrijkste is. Er goed mee kunnen rekenen komt daarna als te oefenen handvaardigheid. Voor deze serie causerieën is het ook ondoenlijk om uitgebreid en serieus wiskunde te gaan doen. Het is ook nog eens onmogelijk zonder ouderwetse hulpmiddelen en face to face. Ik vrees dat zelfs bij mijn gezelschap amateurs nu er al weer iets onaangenaams naar boven komt, zelfs als we toch weten dat de meesten al met goed gevolg de zendcursus hebben afgerond. Velen zullen ook nog wel ergens een min of meer technische opleiding als achtergrond hebben al is het misschien lang geleden. Wanhoopt ende despereert niet! Bovendien het is slechts voor de lol!

Een vorige keer ging het over operatoren etc. Je zegt dat je 2 bij 3 optelt en schrijft 2 + 3 = 5. In deze formule kan ik niet elk getal willekeurig invullen. Ze horen eenduidig bij elkaar. De formule is een voorschrift dat precies noteert wat er aan de hand is. Ik kan ook het volgende vragen: welk getal bij 2 opgeteld levert de som 5 op. Dat kan ik schrijven als: 2 + ? = 5.
Zoek uit wat er op de vraagteken moet komen te staan. Antwoord dus 3. Ik kan ook iets anders vragen waarvoor ik op moet schrijven ? + ? = 5. Als antwoord kan ik geven dat 2 en 3 voldoen; maar het vervelende is dat ik niet precies ben geweest. Immers de ene vraagteken betekent 3 en dan is de andere gelijk aan 2. Twee gelijke symbooltjes staan dus voor iets anders. Vinden we niet fijn. Beter was geweest a + b = 5 met als uitkomst bv a=2 en b=3. Een andere oplossing was natuurlijk a=3 en b=2 met dezelfde onzorgvuldigheid. Dat komt omdat het gevoel van de wiskundige zegt dat symbolen altijd voor iets “vastigs” moeten staan. a=a en niet a=b. a en b zijn vaste waarden, constanten. Voor zaken die meer waarden kunnen aannemen worden van oudsher vaak letters x, y en z gebruikt. Getallen worden genoteerd als a,b,c etc. Binnen een geheel staat elke letter steeds voor hetzelfde, een constante die wel elk getal kan aannemen. Je kunt nu alle breuken noteren als a/b en alle uitkomsten van het bovenstaande sommetje als x + y = z met z=5. Bij dit soort formules kun je natuurlijk alle andere bewerkingen zoals wortels en machten tegenkomen. Kijk nog maar eens naar het polynoom dat ik eerder heb opgeschreven.
De wet van Ohm beschrijft een proef die heel veel keer is gedaan. “De stroomsterkte door een draad is evenredig met de aangelegde spanning”. Dat kun je heel kort samenvatten in een relatie: I = constante x V. de evenredigheidconstante is terug te voeren op een eigenschap van de gebruikte draad. Het heet geleidbaarheid G. De wet luidt dus in formule I = constante x V = GxV=GxU. Je kunt ook schrijven U = I/G en 1/G = R (weerstand) waardoor de uitkomst is U=IR. De wet van Ohm. U, I en R zijn symbolen die in relatie tot elkaar staan. De keuze voor letters als symbool is niet geheel willekeurig, maar veelal door de geschiedenis bepaald. Voor alle operaties kun je de symbolen opvatten als gewone getallen, alleen heb je de boel voor elk mogelijk geval geünificeerd. De in formulevorm genoteerde wet is dus universeel en bijzonder compact geformuleerd. Het is ook nog een heel eenvoudige. Je kunt de evenredigheid er direct aan aflezen. In andere formules kun je vaak andere verbanden direct herkennen. Soms kom je erg complexe en moeilijk te interpreteren formules tegen. In de kwantummechanica bij voorbeeld moet je heel erg wennen aan het interpreteren en begrijpen van de wiskundige taal die je nodig hebt en waar de “oplossingen” als het ware “vanzelf” uitkomen.
Als je een wiskundig gebouw optrekt begin je uiteraard met de eenvoudige zaken. Zoals de wet van Ohm een wiskundige formulering van een fysisch verschijnsel is in de vorm van een lineair verband zijn er ook kwadratische en andere wetmatigheden. Op de middelbare school krijg je te maken met een flink aantal wiskundige formuleringen die de naam functie gekregen hebben. Een functie is een voorschrift om iets te doen met de in te voeren variabelen bv x,y,en z waarna er een eenduidige uitkomst uitkomt. Heel vaak kun je functies mooi in een plaatje, een grafiek, weergeven. Daar heb je weer een coördinatenstelsel voor nodig. In een aantal gevallen kun je in een vlak (twee dimensies) af beelden. Anders heb je drie dimensies nodig (afbeelden m.b.v. drie loodrechte assen zoals ribben van een kubus).
Zeer bekende functies zijn de kwadratische (ze leveren parabolen, hyperbolen en ellipsen op) en andere machtsfuncties (bv wortelvormen). Er zijn ook nog erg veel andere zoals de logaritmische en hyperbolische functies. Bij wat ingewikkelder wiskunde heb je ook functies waarin de vreemde getallen die ik eerder noemde voorkomen. Dat zijn complexe en transcendente functies. Je moet je goed beseffen dat je in bijna alle functies die een relatie leggen met een natuurkundig verschijnsel in de wereld vrijwel altijd drie plaats coördinaten nodig zijn en dat je met vectorgrootheden te maken hebt. Dat betekent ook dat er vaak andere rekenregels gelden dan die voor gewone getallen en eenvoudige functies gelden. Ik sprak daarover bij operatoren en operandi.
In de natuurkunde komen eigenlijk betrekkelijk weinig lineaire verbanden voor. Soms zijn verbanden op beperkte schaal wel te lineariseren, dat is natuurlijk een makkelijke benadering. Er zijn bekende kwadratische (of omgekeerd evenredig met het kwadraat) verbanden. Voor ons een zeer bekende is de Wet van Coulomb voor het elektrische veld. In scalaire formulevorm F = k x qQ/r2 . Een andere wet die de sterkte van het magnetische veld beschrijft kan eigenlijk alleen maar zinnig als een vectorformule worden genoteerd. Je krijgt de Wet van Biot-Savart. Dat moet wel omdat de krachtlijnen gesloten cirkels zijn. Denk nog eens na over hetgeen ik eerder heb gezegd over symmetrie etc.. Je kunt voor een rechte stroomvoerende draad er wel een scalaire afgeleide van maken die luidt 2πr x B(r) = constante x I, maar dan moet je in een plaatje per se de richting aangeven die van de richting van de stroom afhangt. Het is dan de wet van Ampère.
Het kan ook in een bolvormig of cylindrische coördinatensysteem. Dat heb ik al eens genoemd in relatie tot een windveld. Als je dergelijke systemen nodig hebt moet je ook met hoeken kunnen werken. In de wiskunde is er een speciaal onderdeel dat zich daar mee bezig houdt: de goniometrie. Daar heb je speciale niet- algebraische functies zoals sinus, cosinus en tangens. We kennen ze uit de wisselstroomtheorie. (ze worden aangegeven door y = sin x etc; bij wisselspanning ziet het er uit als Vt = Vmax x sin (2πft + φ); Vmax is de amplitude, f frequentie, φ de fasehoek). Bij het rekenen met vectorfunctie krijg je dus zeker met sinussen etc te maken. Bovendien kun je niet om complexe functies heen omdat er een prachtig stuk wiskunde is die we te danken hebben aan personen als Gauss en Euler waarin het verband tussen goniometrie en complexe/transcendente functies wordt gelegd. Bij de wiskunde van de wisselspanning gebruiken we daarvan ook een deel: de complexe rekenwijze. Daarbij kom je dus het gekke getalletje – de operator i – ook weer tegen. Omdat het een rotatie over 90 graden inhoudt kunnen we fasedraaiingen dan gemakkelijk automatisch mee berekenen.
Even dat rare getal i (bij elektriciteit vaak als j geschreven). Het is gedefinieerd als i2 = - 1. Wat is i dan voor getal. Het is niet gelijk aan nul, want nul-kwadraat = nul. Het is ook niet groter dan 0, positief dus, want een positief getal in het kwadraat is ook positief. Het kan ook niet negatief zijn want we weten dat een negatief getal in het kwadraat ook positief is (heb ik al eerder gebruikt bij vermenigvuldigen met -1). We kunnen het dus niet op onze getallenrechte afbeelden. We kunnen er wel de “onmogelijke” vergelijking y = √ -4 mee oplossen. Zo: y = √i2x 22 = 2i !! En dit is maar een heel eenvoudig sommetje. Je moet getallen waarin i voorkomt complexe/imaginaire getallen afbeelden in een vlak met twee coördinaat assen: een reële en een imaginaire as.

Differentialen en integralen
Bij de wiskunde die je al bij tamelijk eenvoudige (meerdimensionele) natuurkunde nodig hebt heb je absoluut enkele gereedschappen nodig die differentiaal- en integraalrekening worden genoemd. Newton is de eerste geweest die de differentiaalrekening heeft bedacht om zijn zwaartekrachttheorie en zijn bewegende planeten te kunnen verklaren/berekenen. Wat deze wiskunde met functies doet (het is dus te vergelijken met een operator) is er een nieuwe functie van maken die de verandering van de functie bij kleine verandering van de argumenten, de variabelen, aangeeft. Newton noemde het “de fluxie ervan”. Het begrip is ook in de elektrische en magnetische velden overgebleven, daar heet het flux ( aangegeven met Griekse letter psi). Als voorbeeld gebruik is een rijdende optrekkende en/of remmende auto. Het stuk weg dat per tijdseenheid wordt afgelegd noemen we snelheid. De snelheidstoename per tijdeenheid heet versnelling (accelaratie, hoe meer hoe beter?) Het is wiskundig de afgeleide de gedifferentieerde snelheidsfunctie. Je krijgt zodoende voor veel mensen onbegrijpelijke rare maten. De snelheid is km/uur of m/s. Een snelheidstoename meet je dus in (m/s)/s, je schrijft m/s2. Natuurlijk is het niet mogelijk een seconde met zichzelf te vermenigvuldigen. We zeggen wel “per secondekwadraat”. Die (afgeleide) eenheid van versnelling heeft de dimensie meters per secondekwadraat. Soms kregen grootheden in de natuurkunde een merkwaardige samenstelling in hun dimensie, vaak wordt er dan een nieuwe naam voor bedacht. De eenheid van spanning “volt” is er zo een. We hebben in de natuurkunde maar een paar “echte onvervalste basis eenheden” en een boel afgeleide samengestelde eenheden (met een aparte naam ervoor die meestal heel snel gemeengoed wordt).
Het omgekeerde van differentiëren heet integreren. Ook hierdoor wordt een nieuwe functie toegevoegd onder zeer strikte voorwaarden. Grote namen zijn hier ook Newton (logische als je differentiëren uitvindt) Leibnitz en Gauss. Integreren levert ook een verbinding tussen de algebraische en de ruimtelijke kwaliteiten van functies, zoals inhoud en oppervlak in meer dimensies. Differentiëren legt een verbinding met wat we velden noemen. Beide gereedschappen leveren ook een aparte serie operatoren op. Omdat de onderliggende functies vaak met vectoren te maken hebben zijn er ook verschillende klassen van operatoren: scalaire en vectoriele. Ze krijgen speciale symbolen en namen zoals divergentie, gradiënt en rotatie, del en nabla, laplaciaan enz. Er is ook nog een verbinding met matrixrekenen. Omdat deze relaties bestaan is het vaak mogelijk om verschillende wiskundige modellen of notaties voor een en hetzelfde te gebruiken. Elk heeft zijn eigen voordeel of nadeel.
Door de differentiaal en integraalrekening krijg je ook een aparte groep nieuwe functies/vergelijkingen: differentiaalvergelijkingen in verschillende soorten. Het zijn moeilijke en lastige dingen die verschillende oplossingen leveren of soms niet eens oplosbaar zijn. In natuur en techniek kun je er niet omheen. Een aantal van deze vergelijkingen en/of hun oplossingen (verschillende polynomen) hebben bekende namen gekregen zoals Chebisjev, Laguerre en Hermite. In filtertechniek kom je zo de naam Chebisjev niet voor niets tegen. Ook in de kwantummechanica kom je steeds differentiaalvergelijkingen en hun specifieke oplossingen tegen.
Eenvoudige toepassingen van dergelijke wiskundige technieken levert bij voorbeeld de laad-en ontlaadkarakteristiek van een condensator over een weerstand:
U(t) = Uo ( 1 – e –t/RC) Je ziet in deze formule het begrip RC-tijd terug en een speciale machtsfunctie de e-macht. Het getalletje e = 2,71….. is heel bijzonder transcendent); het is het grondtal van de natuurlijke logaritme, ook al een bijzondere functie.
Diegenen die verwachten dat ik allerlei zaken die met elektriciteit en magnetisme samenhangen hier eenvoudig en begrijpelijk voor ieder kan voorschotelen vergissen zich (laat staan kwantummechanica of relativiteitsleer). Het is zonder wiskunde van enig niveau niet mogelijk. Niet voor niets wordt in de eerste jaren HBO of Academische studie een zware last op de studenten gelegd, namelijk om bijna achteloos, een geweldige hoeveelheid mathematisch gereedschap te begrijpen en paraat te hebben. Daarom moet mijn praatje wel voornamelijk kwalitatief van aard blijven.

Dick vd Berg pa2dta

   

Website Laatst Gewijzigd

Last Modified: dinsdag 12 februari 2019, 07:50:43.
   
© 2017 Kees Haremaker