Laatst bekeken reisfilms  

   

Ingelogd  

   

Wie is aanwezig  

We hebben 918 gasten en geen leden online

   
×

Bericht

EU e-Privacy Directive

This website uses cookies to manage authentication, navigation, and other functions. By using our website, you agree that we can place these types of cookies on your device.

View e-Privacy Directive Documents

View GDPR Documents

You have declined cookies. This decision can be reversed.
Ster inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactief

Beste om Gast,

In dit menu kunt u kiezen voor een 6 tal lezingen die door Dick PA2DTA zijn gegeven voorafgaand aan afleveringen van het Nederlandstalig ameateurnet op 80 meter

Best 73's de pa2cjh
 

Ster inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactief

  1. Inleiding

    Een paar weken terug vertelde ik kort iets over een Duits boek dat in de jaren dertig was geschreven voor een ingenieurs opleiding in de hoogfrequente elektronica. Een paar zaken waren me opgevallen, reden om er over te beginnen. Als eerste het zeer hoge niveau van de theorie. Impliciet veronderstelt de schrijver een zeer gedegen kennis van de noodzakelijke natuur – en wiskunde. Voor elektromagnetisme is dat in het algemeen niet mis. Behalve de gewone differentiaal en integraalrekening is een goede kennis van wiskunde-analyse en vectorwiskunde nodig. En passant is er ook nog wat kennis van de speciale relativiteitsleer nodig om het verband tussen elektriciteit en magnetisme een fysisch-mathematische -wiskundig model te kunnen geven. Achteloos worden zo een paar korte opmerkingen als inleiding op een diepgaande analyse losgelaten. Dat je het maar weet en goed actief paraat hebt. Ten tweede moest ik weer even terug denken aan een grote ergernis van mijn studietijd –ook al weer meer dan bijna vijftig jaar geleden – het gebruik van een ander eenhedenstelsel. Tegenwoordig horen we in de wetenschap en in de techniek gebruik te maken van een internationaal afgesproken serie eenheden en grootheden die allemaal zo goed mogelijk gedefinieerd en bekend zijn. Voorbeelden zijn de kilogram, de meter en de Ampère. Met een klein setje standaardeenheden kunnen we de hele natuurkunde aan. Hoe dat precies zit is een verhaal apart. Het genoemde boek gebruikt echter nog eenheden die teruggaan op een oude praktijk uit de tijden dat de onderliggende theorie gestalte kreeg, in de laatste helft van de negentiende eeuw dus. Het zijn zogenaamde elektrostatische en elektromagnetische eenheden. Een aantal komt ook tegenwoordig –om de verwarring steeds te vergroten en onuitroeibaar ondanks afspraken - nog steeds voor. Ik noem als voorbeeld de Gauss, StatCoulomb, Oerstedt en Gilbert. Wat het boek betreft tenslotte: de nazi’s hebben in Duitsland ook het gewone Arabische schrift ingevoerd, alleen bleven hier en daar wat symbolen in het fractur-schrift over. Bij natuurkunde wel handig om speciale zaken te noteren zoals vectoren, bijzondere functies en operatoren. Je moet er wel even goed aan wennen. Tja, en zoals overal in wetenschap en techniek komen er allerlei getallen en constanten voor.
    Sinds de tijden van de Verlichting –de tijden van Diderot en Descartes en ook Huygens en Newton – is de empirische wetenschap opgekomen. We willen alles meten en in getallen en maten vatten om onze theorieën te toetsen en in wetmatigheden over te voeren. Het hemelse horloge van Descartes en Newton is er een prachtige illustratie van. Ik ga voor mijn serie praatjes dan ook beginnen met een eerste noodzakelijke onderdeel van ons beschrijvende wereldmodel zoals dat nu gestalte heeft gekregen.
    Hoewel uiterst essentieel hebben we de basis –tellen – als een impliciete kennis zonder achtergrond opgedaan op de lagere school. Tegenwoordig is ook bij het vervolgonderwijs helaas geen tijd en noodzaak meer te vinden om de cultureel-historische wetenschapsfilosofische achtergrondkennis van dit soort zaken uit te diepen. We kunnen mijns inziens echter voor een beter begrip absoluut niet zonder deze historische kennis ook in dwarsverbanden. Hoewel ik ergens later in mijn serie radiopraatjes in het voornet dus bij meer hoogfrequente aangelegenheden wil uitkomen moet ik ergens in de krochten van de eerste menselijke cognitieve vaardigheden duiken. Tellen en getallen.

Beste OM Gast,

NEDERLANDSTALIG AMATEURNET

Serie causerieën over voor amateurs toch hopelijk interessante onderwerpen door Dick, PA2DTA
Het NTA bestaat dit jaar zo’n 45 jaar. Het is sinds het begin een ontmoetingsplaats geweest. Ook was er soms een radiomarkt, een technische vragenronde, maar altijd een uurtje inmelden onder leiding van een netleider. Alweer geruime tijd geleden stelde PA3DFV in het zogenaamde voornet voor om dat halfuurtje iets meer te laten zijn dan een klein netje; er zou aandacht kunnen komen voor wat techniek of zaken die de amateur zouden kunnen boeien. Iedereen vond dat een prima idee, echter bleven spontane aanbiedingen om het voortouw te nemen uit. Omdat er toch regelmatig interessante vragen werden opgeworpen leek het me na lang denken wel leuk om eens met iets dergelijks te beginnen. Een wat andere opzet van het voornet en al vast een manier om de frequentie een beetje schoon te vegen. Vanwege mijn loopbaan in onderwijs en wetenschap is het niet zo moeilijk om onderwerpen te verzinnen, echter je hebt geen illustratiemogelijkheden en ook nauwelijks directe interactie. Toch maar proberen. Per week zal ik een stuk aan mijn verhaal breien, we komen uiteindelijk vast wel bij wat radiotechniek uit. Om niet alle onderwerpen te laten verdwijnen in de HF-cloud zijn de teksten ook beschikbaar via PA2CJH’s website Om nog eens na te lezen en een beetje bij te blijven..

Inleiding

Een paar weken terug vertelde ik kort iets over een Duits boek dat in de jaren dertig was geschreven voor een ingenieurs opleiding in de hoogfrequente elektronica. Een paar zaken waren me opgevallen, reden om er over te beginnen. Als eerste het zeer hoge niveau van de theorie. Impliciet veronderstelt de schrijver een zeer gedegen kennis van de noodzakelijke natuur – en wiskunde. Voor elektromagnetisme is dat in het algemeen niet mis. Behalve de gewone differentiaal en integraalrekening is een goede kennis van wiskunde-analyse en vectorwiskunde nodig. En passant is er ook nog wat kennis van de speciale relativiteitsleer nodig om het verband tussen elektriciteit en magnetisme een fysisch-mathematische -wiskundig model te kunnen geven. Achteloos worden zo een paar korte opmerkingen als inleiding op een diepgaande analyse losgelaten. Dat je het maar weet en goed actief paraat hebt. Ten tweede moest ik weer even terug denken aan een grote ergernis van mijn studietijd –ook al weer meer dan bijna vijftig jaar geleden – het gebruik van een ander eenhedenstelsel. Tegenwoordig horen we in de wetenschap en in de techniek gebruik te maken van een internationaal afgesproken serie eenheden en grootheden die allemaal zo goed mogelijk gedefinieerd en bekend zijn. Voorbeelden zijn de kilogram, de meter en de Ampère. Met een klein setje standaardeenheden kunnen we de hele natuurkunde aan. Hoe dat precies zit is een verhaal apart. Het genoemde boek gebruikt echter nog eenheden die teruggaan op een oude praktijk uit de tijden dat de onderliggende theorie gestalte kreeg, in de laatste helft van de negentiende eeuw dus. Het zijn zogenaamde elektrostatische en elektromagnetische eenheden. Een aantal komt ook tegenwoordig –om de verwarring steeds te vergroten en onuitroeibaar ondanks afspraken - nog steeds voor. Ik noem als voorbeeld de Gauss, StatCoulomb, Oerstedt en Gilbert. Wat het boek betreft tenslotte: de nazi’s hebben in Duitsland ook het gewone Arabische schrift ingevoerd, alleen bleven hier en daar wat symbolen in het fractur-schrift over. Bij natuurkunde wel handig om speciale zaken te noteren zoals vectoren, bijzondere functies en operatoren. Je moet er wel even goed aan wennen. Tja, en zoals overal in wetenschap en techniek komen er allerlei getallen en constanten voor.
Sinds de tijden van de Verlichting –de tijden van Diderot en Descartes en ook Huygens en Newton – is de empirische wetenschap opgekomen. We willen alles meten en in getallen en maten vatten om onze theorieën te toetsen en in wetmatigheden over te voeren. Het hemelse horloge van Descartes en Newton is er een prachtige illustratie van. Ik ga voor mijn serie praatjes dan ook beginnen met een eerste noodzakelijke onderdeel van ons beschrijvende wereldmodel zoals dat nu gestalte heeft gekregen.
Hoewel uiterst essentieel hebben we de basis –tellen – als een impliciete kennis zonder achtergrond opgedaan op de lagere school. Tegenwoordig is ook bij het vervolgonderwijs helaas geen tijd en noodzaak meer te vinden om de cultureel-historische wetenschapsfilosofische achtergrondkennis van dit soort zaken uit te diepen. We kunnen mijns inziens echter voor een beter begrip absoluut niet zonder deze historische kennis ook in dwarsverbanden. Hoewel ik ergens later in mijn serie radiopraatjes in het voornet dus bij meer hoogfrequente aangelegenheden wil uitkomen moet ik ergens in de krochten van de eerste menselijke cognitieve vaardigheden duiken. Tellen en getallen.

Tellen en getallen
Van de prehistorische mens weten we betrekkelijk weinig. De facto niets; alleen door met begrip en spiegelen terug te kijken kunnen we een plausibele beschrijving, een soort afbeelding, van onze voorgangers- soortgenoten maken. Bedenk dat er tienduizenden jaren geleden (daar gebruik ik al een hoeveelheidsaanduiding en een eenheid) heel weinig mensen op de wereld rondliepen. Het waren nomadische jagers/verzamelaars die ongetwijfeld met behulp van taal hebben gecommuniceerd en hun wereld voor zover nodig middels begrippen in kaart hebben gebracht. Pas na het ontstaan van sedentaire samenlevingsvormen en toegepaste landbouw kwam tevens een handelscultuur –eerst vermoedelijk ruilhandel - op. Het is de mens kennelijk eigen om van nature te groeien naar grotere en meer diverse en complexere samenlevingen waarin enige vorm van economische activiteit met de daaraan verbonden waarden en normen ontstaat. Een complexe handel vergt dat je weet wat je koopt en verkoopt. Je moet dus tellen, wegen, ijken en rekenen. Uit zeer vroege vondsten uit de regionen rond Eufraat en Tigris (het begin van de historie dus) weten we dat daar boekhouders waren die hun zaken ook op schrift zetten: spijkerschrift. Taal en schrift werden en zijn met elkaar verbonden. In alle talen onderscheid men verschillende specifieke aanduidingen.
Een kwantor of numerale is een aanduiding die bepaalde woorden en begrippen die met tellen en aantallen samenhangt aangeeft. De bekende grap – en deze zin - over iemand die 1,2,3, veel telt bevat er een paar. Onze geschreven symbolen, cijfers, staan voor een getals- of hoeveelheids aanduiding. We hebben ze geleerd als hoofdtelwoorden. We kennen ook rangtelwoorden (eerste , tweede) en onbepaalde telbijwoorden (veel, beetje). Onze manier van tellen is langzaam ontstaan. Net als de manier waarop we het opschrijven en er mee rekenen (hoofd, acabus, telraam, rekenliniaal, zakjapanner, computer). Eerst kenden we alleen natuurlijke getallen (die kun je aanwijzen). De Indiërs hebben de NUL (0) uitgevonden, de handelaren en boekhouders negatieve getallen, om schulden mee aan te geven.
Al die getallen, dat zijn er nogal wat. Je noemt ze naar zichzelf. We hebben dus de natuurlijke getallen 1,2,…..100…..10100 (googol)….tot ∞ (oneindig). Dan heb je die toch wel bijzondere NUL, want zonder die hadden we geen negatieve getallen. Daarvan zijn er ook heel veel. Hoeveel? Ook oneindig veel, tel maar door en terug, aftellen heet dat. Deze hele grote hoeveelheid getallen samen zijn de gehele getallen. Deel je twee getallen op elkaar dan krijg je breuken ofwel rationale getallen. Daarvan heb je een paar soorten. Sommige breuken komen uit, als je ze uitschrijft. Andere niet, die krijgen oneindig veel cijfers achter de komma (ik introduceer hier stilzwijgend een tientallige, decimale manier van tellen en noteren). Soms herhalen zich patronen, soms niet.
VB: ½ = 0,5000 1/3 = 0,3333333 (eindeloos door) of 0,123412341234…….
Er blijken ook getallen te zijn die je niet als een breuk van twee andere kunt schrijven. Dat type getal heet irrationaal. Voorbeelden zijn PI, e (grondtal natuurlijke logaritmen) en wortel 2. Kijk maar eens met een rekenmachientje naar die getallen. Als amateur ben je dergelijke getallen alvast wel eens tegengekomen. Alle typen die ik tot nu toe genoemd heb heten samen de reële getallen. Je kunt al dit soort getallen proberen af te zetten op een liniaal (denk aan de duimstok, daar staan centimeters en millimeters op, daar tussen staan in feite nog meer getalletjes). Zo’n lijn heet een getallenrechte. Je kunt alle reële getallen er ééndimensionaal op afbeelden. Er bestaan ook getallen die je in een vlak kunt, zelfs moet, afbeelden. Dan gebruik ik stilzwijgend Euclidische meetkunde! Figuren met linialen, passers, driehoeken, cirkels etc. Het soort getallen dat je in een vlak (met twee assen) moet afbeelden noemt men irreële of complexe getallen. Ik loop vooruit op de gebruikelijke notatie daarvoor z = a + bi; a en b zijn gewone getallen. Het getalletje i heeft vreemde eigenschappen. Zo is het kwadraat ervan -1 en betekent de vermenigvuldiging ermee een draaiing over 90 graden. Komt dat je niet bekend voor uit de wisselstroomtheorie?
Soms heb je aan een vlak niet genoeg en moet je een bepaalde ruimtelijke figuur gebruiken om een getal af te beelden. Meestal doen we dat in een orthogonaal stelsel, dus met onderling loodrechte assen, denk aan een kubus. Je hebt dan bij voorbeeld te maken met quaternionen. Je kunt er niet meer met gewone rekenkunst mee rekenen. Er bestaat een speciale tak van sport in de wiskunde voor die onder verschillende namen al of niet uitgebreid wordt behandeld zoals vector, tensor, of matrix rekenen. Daarmee geef ik ook al aan dat getallen, wiskunde, algebra met elkaar te maken hebben. De verschillende soorten getallen die er bestaan zijn dan bepaalde oplossingen van algebraïsche vergelijkingen die terug te voeren zijn op een zogenaamde polynoom:
F = a0 + a1X + a2 X2 + a3X3 + a4X4 + ………+an-1Xn-1 + anXn
Degenen die op de middelbare school ouderwetse wiskunde hebben gehad zullen er wel bekende stukken in zien en weten hoe ze bv een vergelijking van de tweede graad op moeten lossen. Dat kon je alleen als er voldaan was aan een voorwaarde; anders kon je niet verder. Dat kon natuurlijk wel, en dan kreeg je complexe oplossingen.

Je kunt alle getallen ook behandelen vanuit de verzamelingenleer. Die is in de negentiende eeuw ontwikkeld en grote namen erbij zijn o.a. Georg Cantor en David Hilbert. Tegenwoordig wordt een deel van de middelbare school wiskunde gericht op verzamelingen. Dat heeft zeker te maken met de opkomst van logische schakelingen en computers.
Getallen die zo logisch lijken te zijn ontstaan uit tellen blijken een aantal inherente vreemde of mooie eigenschappen te hebben waarvan we nog lang niet alles ontdekt hebben. We kennen allemaal de begrippen even, oneven en priem. Er zijn allemaal wetmatigheden en ook veel vermoedens. Denk eens aan de stellingen van Fermat (is zn = an + bn altijd oplosbaar?) of het vermoeden van Goldbach (verdeling van priemgetallen op de getallenrechte). Ook het begrip oneindig komt voort uit de getaltheorie. Je kunt immers maar doorgaan met tellen van alle natuurlijke getallen. Aftellen heet dat. Maar hoe groot is oneindig dan. Er zijn oneindig veel even getallen, maar ook oneindig veel oneven. Is oneindig plus 1 ook oneindig maar eentje meer? Is twee maal oneindig ook oneindig?? Cantor en Hilbert hebben over die maat van oneindigheid nagedacht en een manier gevonden het als het ware te tellen. Het begrip daarvoor is kardinaliteit (symbool א alef). Daarover aan het slot van dit stukje iets meer. Eerst iets over het noteren van getallen.

Tal- Stelsels.
De Sumeriers gebruikten een voor ons ingewikkelde manier om hun cijfers en getallen te noteren. In de loop der eeuwen zijn er nogal wat manieren geweest. Een paar kennen we wel. In de kroeg gebruiken we een systeem met paaltjes op een bierviltje. Duidelijk en begrijpelijk voor iedereen. Het lijkt op tellen met je vingers. Het is zelfs vijftallig, het grondtal is vijf. Na vier paaltjes met een erdoor begin je aan een nieuw rijtje. De Romeinen hadden symbolen voor 1 (I), 10 (X), vijftig (L), vijfhonderd (D) en duizend (C), waarin de plaats in de rij soms iets betekende, soms ook niet. Op gebouwen gebruiken we nog vaak iets als A(nno)D(omini) DCXLIII (1543). Onze manier van klokkijken berust op een zestigtallig stelsel, net als de hoeken op het kompas (een paar keer rond kun je niet aangeven en moet je dus apart noteren, bij de klok in 12 of 24 uren). Pas in de tijd van de grote Napoleon heeft men het decimale stelsel ingevoerd. Dus alles verdelen in brokken van 10 of 1/10. Ook vanaf toen heeft men maten en gewichten proberen universeel toe te passen. Dat is nog steeds niet helemaal gelukt. Ergens terug noemde ik de oude eenheden in het Duitse boek. Er is een marslander verongelukt doordat er in meters en inches werd gerekend! Een kostbare vergissing. Wij danken er nu toch al onze voorzetsels voor maten en gewichten aan. Nederland was zelfs haantje de voorste met invoeren. Millimeter, centimeter, hectometer, kilometer, picofarad, terawatt. Het zijn allemaal eenheden genoteerd in machten van tien. Zo hebben ook alle ronde getallen nog allemaal een naam gekregen, helaas volgens twee systemen. Zo is een biljoen niet overal evenveel. (Bij ons 1012; bij GB en USA 109 een miljard dus)
Voor onze notatie van getallen gebruiken we ook een tientallig positie stelsel op basis van grondtal 10. De plaats van een getalletje in de rij van cijfers geeft zijn absolute grote aan in machten van tien en alle stukjes te samen tellen we op.
123,123 staat voor 1x10E2 + 2x10E1 + 3x10E0 + 1x10E-1 + 2x10E-2+3x10E-3 =
1 x 100 + 2 x 10 + 3 x 1 + 1 x 0,1 + 2 x 0,01 + 3 x 0,001 = 123,123
We gebruiken positiestelsels ook voor bv het binaire, octale en hexadecimale stelsel. Dat zijn stelsels op basis van grondtal 2, 8 of 16. Omdat we “maar” 10 cijfers hebben, moeten we voor het hexadecimale stelsel ook nog de letters A t/m F gebruiken.
Als voorbeeld 111,111 = 1x2E2 + 1x2E1 + 1x2E0 + 1x2E-1 +1x2E-2 + 1x2E-3 = 7,875 in het decimale stelsel.
Het binaire stelsel dat alleen enen en nullen kent, is heel erg handig voor computer schakelingen, waar je vaak met aan en uit te maken hebt. Aan/uit/en/of/niet-en, niet-of etc zijn logische operatoren die je met enen en nullen volgens een aparte en bijzonder wiskunde van Boole en Karnaugh kunt laten rekenen. Een wiskunde die ook al in de negentiende eeuw werd bedacht. Logische operatoren komen uit de verzamelingenleer die ik al eerder noemde. Behalve uitermate abstract is de verzamelingenleer ook meetkundig georiënteerd. Behalve met zogenaamde waarheidstabellen uit de logische wiskunde zie je ook vaak plaatjes om iets duidelijk te maken.

Transfiniet, transcendent.
Getallen kunnen soms wel en soms niet als oplossing uit een zogenaamde algebraïsche vergelijking, een polynoom, komen. Als het niet kan heet het getal transcendent. Het woord suggereert al dat ze “vreemde” eigenschappen hebben. Je kunt bewijzen dat er een aftelbaar aantal algebraïsche en overaftelbare aantallen trancendente getallen zijn (Hier komt weer het begrip kardinaliteit opduiken. Aftelbare aantallen hebben kardinaliteit א0, overaftelbare kardinaliteit א1) Ze zijn tevens irrationaal (dus geen eindige breuken). Het zijn moeilijke begrippen. Ook kom je dan weer het begrip kardinaliteit tegen in een tak van sport die de continuiteitsstelling heet. Werk van Cantor en Hilbert. Transcendent, transfiniet (over-oneindig) en oneindig bleven lang onduidelijke en moeilijk te begrijpen zaken. Hilbert heeft er een grappige illustratie voor bedacht. Hilberts-hotel.
Hilberts Hotel. Het heeft een oneindig aantal kamers. En het is vol!
Er komt een late gast. Die kan erbij want als alle gasten één kamer opschuiven komt er precies de extra kamer vrij en oneindig plus 1 is immers oneindig. Nu komt er een volle bus met een oneindig aantal passagiers om overnachting. Geen probleem. De receptionist vraagt alle gasten om naar hun kamernummer te kijken, het met twee te vermenigvuldigen en naar de desbetreffende kamer te verhuizen. Dat kan want er zijn oneindig veel even kamers. (2 x een getal is altijd even). Bovendien komen nu alle oneven kamers vrij, ook minstens oneindig veel. Klaar. Verdorie nu komt midden in de nacht nog een oneindig aantal bussen met elk een oneindig aantal personen aan. Toch een probleem? Nee! Kijk maar. Weer actie x twee. Alle oneven kamers zijn weer over. Kamer No1 is even geworden. Neem alle kamers met machten van 3 (allemaal oneven, reken maar na) zijn voor bus no 1; alle machten van 5 voor bus twee; derde bus in machten van zeven en zo kun je de oneindige rij bussen met oneindig veel gasten opbergen in alle machten van de priemgetallen. Je weet dat dat kan immers de priemen zijn niet te ontbinden in even getallen en de machten vallen nergens samen.. Ze passen overal er precies tussen in. Hoe ze er precies tussen vallen is dan weer een probleem, want de afstanden tussen alle priemen is nog in onderzoek.
Leuke gedachten experimenten natuurlijk. Maar wat heb je eraan? Afgezien van het feit dat het (voor sommigen) net zo leuk is als scrabble of met radio’s knutselen, heeft het wel degelijk verbanden met de realiteit. Uw hele wereld met de computer, SDR, webradio, bankpas, cryptografie, CD etc. draait op de onderliggende rekenarij en wiskunde. Geef tegenwoordig een microprocessor rekensnelheid en geheugen en het ding kan (bijna) alles aan. Grappig en raadselachtig dat je door het bedenken van getallen alleen zoveel ingebakken vreemde eigenschappen cadeau krijgt.

Dick vd Berg pa2dta

Ster inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactief

Beste om Gast,


Maten en gewichten

Na alle relatief zware kost ga ik verder met een kijkje in de geschiedenis van maten en gewichten, eenheden, afgeleide eenheden, dimensies en curiosa. Ik had het al over de Babylonische bakker met zijn zakjes meel en oven temperatuur. Ook noemde ik de introductie van het tientallige stelsel en standaardeenheden. Nog niet zolang geleden was het werkelijk helemaal een rommeltje. De invoering van de Euro is wat dat betreft natuurlijk een succes. Vroeger had je in elke zakagenda een hele rubriek met maten en gewichten en omrekenfactoren. Een van de nog steeds bekende betreft de paardekracht en de kilowatt. Of de kilocalorie en de kilojoule. Wie de meter verkort wordt langer. Je moet vaste maten hebben, wel zo handig. Maar hoe?
In de fysica kun je veel zaken beschrijven door een natuurkundige grootheid. Sommige daarvan veranderen niet (zo is gebleken door een consistent model te bedenken) zoals de lichtsnelheid, andere wel zoals stroomsterkte of temperatuur. Uiteindelijk is het wel een kwestie van kip en ei waar je begint; men denkt echter dat er uiteindelijk enkele (misschien maar één) echte natuurconstanten zijn waarop je alle eenheden kunt bouwen. Bij experimenteel onderzoek vind je in eerste instantie een verband tussen enkele grootheden. Dat komt uit op een formule die het gedrag beschrijft. Kijk nu eens naar de eerder genoemde Wet van Coulomb. F = K x qQ/r2. Als je ergens begint liggen misschien enkele zaken al vast, zoals lading en kracht hierboven, uiteindelijk moet je om de boel kloppend te maken alles in de evenredigheidsconstante K stoppen; dat levert misschien wel een onmogelijk en raar getalletje op. Je kunt ook kiezen dat K=1 wordt. Noodzakelijkerwijs krijg je dan iets “moeilijks” met de lading of de kracht. Je kunt dus twee systemen rond de wet van Coulomb opbouwen. Dat is ook gebeurd, met als gevolg dat er nog steeds verschillende eenheden in de (statische) elektriciteitsleer voorkomen.

In de negentiende eeuw maakte de wetenschap met name wat betreft elektriciteit en magnetisme grote vorderingen. Deze vakgebieden stonden naast de mechanica en de warmteleer of thermodynamica. Ook al vakgebieden waar je niet zonder differentiëren en integreren kunt. In die tijd kwam men ook al problemen tegen met meten en eenheden. In 1881 werd gekozen om drie eenheden namelijk cm, gram en seconde als eenheid te gebruiken. Het zogenaamde cgs-stelsel Hiervan afgeleid werden andere eenheden maar door een feitelijk gebrek aan basiseenheden resulteerde dit in heel vreemde en onhandige “maten, dimensies” van sommige afgeleide eenheden die ook vaak nog eens van een aparte naam werden voorzien. De eenheid van kracht, dimensie gr.cm/s.s, de dyne was nog overzichtelijk, maar met name in de elektriciteitsleer kreeg je “vreemde” dimensie (met gebroken machten bij voorbeeld). Hoe dan ook men ging twee uitgebreide stelsels gebruiken: het ESE (elektrostatische eenhedenen stelsel) het EME (elektromagnetische eenheden stelsel) met als basis het CGS-stelsel. Hierboven staat de illustratie met de Wet van Coulomb. De eenheid van lading bij K=1 (dimensieloos) wordt dan de statcoulomb; de dimensie van de statcoulomb wordt g1/2. cm3/2 /s . In dit stelsel wordt de eenheid van capaciteit de centimeter. In oude boeken en op oude condensatoren kom je deze maat nog wel tegen. Er kwam een fors aantal afgeleide maar in het gebruik bijna standaardeenheden te pas die we ook tegenwoordig nog steeds tegenkomen zoals: Oersted, Gauss, Maxwell, Gilbert, Statvolt, statCoulomb, statAmpere.
Bij de theoretische beschrijving van de verschijnselen kreeg je te maken met vectoren en symmetrieen die voor statische elektriciteit radiaal-bolvormig zijn. Bij het definiëren van het elektrische veld komt daarbij het oppervlak van een bol voor loodrecht daarop staan de elektrische veldlijnen als pijlen naar buiten. Een beeld dat we allemaal wel kennen vanuit de boeken. De oppervlakte van een bol is 4πr2 . Nu blijkt het (soms) wel handig om de factor 4π onder te brengen in de evenredigheidsconstante K van de Wet van Coulomb.[ F=K.qQ/r2 h.u.v. E= F/q = KQ/r2 neem K = 1/4πε dan E= Q/4πεr2 = Q/εO] of EO = Q/ε in feite de Wet van Gauss; als je het met vectoren doet zie je meteen dat binnen een geladen lichaam geen elektrisch veld is (kooi van Faraday) en dat veldlijnen loodrecht op het oppervlak staan.] Voor magnetische velden gold ook iets dergelijks. In de praktijk ontstond hierdoor nog een apart stelsel: Het stelsel van Gauss. Zelfs nu wordt dat nog gebruikt. Het is aanleiding tot veel verwarring en “rekenfouten” met 2π, 4π en 1/4π etc. Ook is de “omslachtigheid” met constanten als ε en μ en zaken als H (magnetische veldsterkte) en B (magnetische inductie) , etc er aan toe te schrijven. Als je altijd eenzelfde stelsel gebruikt is het natuurlijk geen probleem; maar in de werkelijkheid werden/worden de verschillende systemen een beetje willekeurig door elkaar gebruikt. Voorbeelden: Als gevolg was in het ene systeem de eenheid van capaciteit de centimeter in het andere werd dat de (pico)farad. Soms gebruikt men voor stralingsenergie de eenheid Joule , maar vanwege de relatie van Planck (E=h.f) kun je ook cm-1 tegenkomen. (zoek maar eens uit hoe dat kan). Standaardiseren dus! Ronduit verbieden van een ongewenst stelsel is om verwarring te voorkomen nodig. Maar het lukt nog steeds niet altijd.

Na veel gesoebat is men er in 1960 toe overgegaan om het internationale stelsel van eenheden in te voeren (SI). Er zijn nu uniforme internationale standaardeenheden van maten en gewichten die zodanig zijn geformuleerd dat het in elkaar omrekenen en aan elkaar relateren met evenredigheids-natuurconstantes het gehele systeem zo eenvoudig mogelijk is. Vroeger stond het Ijkwezen voor de controle, nu is er zelfs overal landelijk een speciaal instituut (plus discipline hoe alles te doen): het Metrologische Instituut. Men heeft nu een klein maar voldoend aantal standaardeenheden vastgelegd. Dat zijn: meter (m), kilogrammassa (kg), seconde (s), ampere (A), temperatuur (K), chemische hoeveelheid stof (MOL) en lichtsterkte candela (Cd). Onlangs heeft men besloten zelfs de kilogram anders te gaan definiëren nl m.b.v. de constante van Planck, het tot nu kleinste actiekwantum, ongeveer 6 x 10-34 Js. De seconde ligt ook vast aan de hand van een energetische hyperfijnatoomovergang in het cesiumatoom. De lichtsnelheid is verder gedefinieerd en daarmee ligt ook de meter de facto vast zonder fysische maatlat. Met alleen deze basiseenheden samengestelde eenheden noemt men coherente eenheden. Voorbeeld is de snelheid (m/s) en de Hertz (1/t = s-1). Er zijn ook nog ingewikkelder afgeleide eenheden zoals kg.m2/s2 , de eenheid van energie. Vaak krijgen dergelijke een eigen naam zoals in dit geval de joule (J). Een aantal samengestelde eenheden heeft een naam gekregen die verwijst naar een beroemde onderzoeker. Voorbeeld de Volt ( kg.m2/As3) en de Tesla (kg/As2) = Weber/m2 = Vs.
De hele uitdrukking in standaardeenheden noemen we de dimensie van de grootheid (in zgn dimensieanalyse kun je er mee rekenen zoals in formules, het moet kloppen. In veel praktijkgevallen waarvan de theorie nog niet goed bekend is kun je door dimensieanalyse wel vaststellen of je methode klopt. In de techniek leidt e.e.a. vaak tot dimensieloze getallen.)
De eenheden zijn soms onhandig groot of klein, daarom is er ook internationaal een stelsel voorvoegsels (machten van 10) afgesproken die als voorvoegsel worden gebruikt. De Farad bv is veel te groot, daarom gebruiken we pico (10-12) of micro (10-6); de Volt is betrekkelijk klein. In je eindtrapje werk je met kilovolts, bij het CERN werken ze met teravolts. Zoek alle voorvoegsels maar eens op. Er zijn er ook die je vroeger niet zo vaak tegenkwam, maar nu wel. Denk aan de harde schijf terabyte, dat kon een paar jaar geleden nog niet. In de microkosmos heb je met heel kleine getalletjes te maken. Tot bv wel 10-64 . Sinds enige tijd heeft men nog wat verfijningen aangebracht. Men heeft daar waar mogelijk een link gelegd met zeer nauwkeurig bekende natuurconstantes. Door terug te rekenen kun je andere daaraan “ijken”. Omdat bv de constante van Planck zeer nauwkeurig bekend is en de eenheid Js is kun je hierdoor a.h.w. de kg opnieuw “ijken”. Daarvoor was de waarde van de kg nog afhankelijk van een bestaand maar arbitrair artefact. Men heeft gebruik gemaakt van vier natuurconstanten: die van Planck (h), de lading van het elektron (e), de constante van Boltzmann (k) en het getal van Avogadro (N). De seconde wordt zeer nauwkeurig gedefinieerd door naar atomaire spectra te kijken. Daarmee wordt ook de meter gedefinieerd door de lichtsnelheid in vacuüm vast te leggen.
Het Bureau International des Poids et Mesures en de Conference generale des Poids et Mesures kan nog zo goed afspraken maken, toch zijn er weer of nog steeds landen die zich er niet aan houden. Slechte voorbeelden zijn Groot Brittannië en Amerika, ze blijven ijzerenheinig volhouden aan hun eigen systematiek. Trouwens notoire dwarsliggers zijn ook de olieboeren die bv nog steeds rekenen in barrels (vaten) of british thermal units (BTU). Omdat er dus nog steeds verschillende systemen naast elkaar blijven bestaan zijn er ook nog steeds omrekentabellen om de eenheden in elkaar om te rekenen. Alleen als ze met u willen afrekenen gaat het om keiharde euro’s. Overigens is dat niet bepaald een behouden grootheid!
Wel vast liggen: e= 1,602176565 x 10-19 C; c= 2,99792458 x 10+8 m/s; uo = 4π; εo= 1/uoc2 (koppeling E en H veld en lichtsnelheid van EM-golven) en h = 6,62606957 10-34 Js (en daardoor dus veel andere eenheden!)

Curiosa in/met maten en gewichten
Heel lang, en voor een deel nog steeds, hebben gilden en beroepsgroepen hun eigen maten en gewichten gehad. Vaak was het ook per land of regio nog verschillend. Door het apothekersgilde zullen er zo heel veel mensen het slachtoffer zijn geweest van vergiftiging, immers de dosis maakt het gif, een uitspraak van Paracelsus al in het begin van de zestiende eeuw.
Als we iets kopen willen we een vaste maat voor ons geld. Het gaat ons om de hoeveelheid stof. We meten dat in kilogrammen, maar we bepalen het met een weegschaal. Dat toestel “weegt” de massa onder de aantrekkingskracht van de aarde (of elders). De kracht waarmee een massa wordt aangetrokken wordt gegeven door de Wet van Newton: F = mxa waarin a=g = kMaarde/r2 De waarde van g is niet overal gelijk: het gewicht van een hoeveelheid stof dus ook niet. Maar de massa wel! [ Dat gaat op voor normale omstandigheden; krijgen we te maken met hoge snelheden dat moeten we rekenen met de relativistische massa] Er zijn nog steeds verschillende systemen voor het wegen die intussen gebaseerd worden om een gestandaardiseerde waarde van g. Met een weegschaal meet je een kracht, je zou dus een massa ook kunnen aangeven door die kracht/gewicht in standaard Newtons (of iets anders) op te geven.. Een gewicht van 1 kgmassa oefent een kracht uit van bijna 10 Newton maar van precies 1 kgforce (kgf = kpond daar is de verwarring).
Van het “ponds-systeem” (avoirdupoids=hebben van gewicht/massa) zijn een heel stel ouderwetse en gilde gewichtsmaten afgeleid. Het (Engelse/speciale) weegsysteem gaat echter uit van een gedefinieerd pond van 485 gram Deels in het twaalftallig, deels in het tientallig stelsel. Daardoor krijg je behalve ponden (bij ons 500 gram), ook het ounce (1/12) of ons (1/5) etc. Daarnaast zijn er nog min of meer “technische” adaptaties (aanleiding tot bv de atu, bar, millimeterHg en hectopascal) en omdat we ook volume- equivalenten willen ook een groot aantal oppervlakte en inhoudsmaten. Onze oude pondemaat, are, mud, schepels etc zijn er het gevolg van. Bij schepen heb je verschil in ton en registerton etc etc. ook blijven er curiosa in gebruik zoals bv de vadem en kabellengte. Er zijn ook een heel legertje (lengte) mijlen. Het is een warboel die alleen maar op te zoeken is om te zien hoe het zit. Om een indruk te geven van sommige omrekeningsfactoren:
1 Avoirdupoids = 175/144 Troy ounce = 25/37 Towerounce = 28/27 Merchantounce = 35/36 Londonounces = 0,9072 Metrisch pound. = 453,5 gram = 480 grains = 64,7981 mg. Bij ons zijn sinds enige tijd het pond (500 g) en het ons (100 g) officieel verboden. Een pond is nu dus 1/2kg.
Nog steeds worden edel metalen gewogen in troys-ounce = 1/12 ipv 1/16 pond. (Volg de goudprijs maar eens.)
Soms wordt er echter weer in karaat gewogen, dat is anderzijds ook nog weer een maat voor zuiverheid (24 k = 100%; 24 karaats goud.) ! Als gewicht is 1 karaat = 200 mg maar in UK vroeger ook 3 1647/9691 = 3,170 grain maar na 1888 3 17/101 = 3,168 grain. Het verschil is klein maar kan in geld nogal wat verschillen…… als bij handel in muntsoorten.
Net als bij de apothekers over heel Europa die omgerekend uitgingen van 300 -560 gram per pound en dat dan een aantal malen in 12 of 16 delen opdeelden. De poeder die je in Italië op recept kreeg kon bij wijze van spreken in Engeland niet werken of juist dodelijk zijn.

Dick vd Berg pa2dta

Ster inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactief

Beste om Gast,

CRYPTOGRAFIE
Lezing van PA2DTA in het NTA van 22 april 2014

Rond deze tijd van het jaar worden we door de media regelmatig gewezen op de tweede wereldoorlog. Herdenken is goed, al was het alleen maar om ook jongere generaties enig historisch perspectief bij te brengen. Behalve onnoemelijk veel menselijk leed komt er ook veel vernuft in beeld. Dat vernuft had natuurlijk beter aangewend kunnen worden, maar de tijd kunnen we niet terugdraaien. Uit de oorlogsgeschiedenis komen ook regelmatig aspecten naar voren die je tot de min of meer stille oorlogvoering kunt rekenen. Daarbij horen dan met name inzet van wetenschap en techniek. De eerste wereldoorlog kun je zo de oorlog van de chemici noemen, immers in deze oorlog werden voor het eerst allerlei chemische strijdmiddelen gebruikt. De tweede wereldoorlog kun je zo de oorlog van de fysici noemen, denk bv aan radio en radar. Cynici noemen de derde wereldoorlog al de oorlog van de mathematici; deze oorlog zal vermoedelijk – laten we hopen dat het geen waarheid wordt – voor een belangrijk deel virtueel, maar niet minder vernietigend, worden uitgevochten. Denk bv aan het inzetten van computervirussen in vitale grote digitale systemen zoals die al gebruikt worden voor het monetaire verkeer en de besturing van grote infrastructurele technieken en installaties.
De tweede wereld oorlog kende al enkele aspecten van de mathematische oorlogvoering. Dat was het geval bij de spionage en contraspionage. Een tak van sport die van groot belang was voor het verloop van de oorlog. Radio en cryptografie was er een substantieel onderdeel van. Onlangs was er ook in de amateur wereld aandacht voor dit soort zaken. In Electron stond een verslag van een bijzondere tentoonstelling bij Arthur Bauer PAoAOB gewijd aan onder andere Enigma.Ook Museum Jan Corver onder hoede van PAoVYL deed goede zaken met een elektronische zelfbouw replica van de versleutelmachine Enigma. “Geheimschrift” is altijd al een boeiende en intrigerende zaak geweest. Ook amateurs doen eer eigenlijk impliciet aan mee, denk aan het gebruik van Morsetelegrafie of het gebruik van Q-codes. We vinden het eigenlijk allemaal wel leuk om ons te onderscheiden van anderen. Overal om je heen kom je vormen van geheimtaal tegen, denk ook maar eens aan de gebruiken binnen de familie. Sommige “hints” zijn alleen voor intimi te begrijpen.

In mijn eerste praatjes sprak ik over het ontwikkelen van cijfers en rekenen en de impliciete regels en wetmatigheden die daarvoor gelden. Ik ging er toen aan voorbij dat de mens natuurlijk daarvoor al een ander communicatiesysteem had ontwikkeld: taal, en van liever lee een manier om de taal te codificeren. Met het uitvinden van het geschreven woord kwam een einde aan wat we de prehistorie noemen. In principe kunnen we datgene wat geschreven en bewaard is vertalen naar hedendaagse taal. Er zijn verschillende schrifturen bedacht. Een ervan gaat terug op een aantal symbolen voor klanken, andere op een aantal figuren die een begrip aanduiden – het Chinese ideogram is daarvan een voorbeeld, deels ook de Egyptische hiëroglyfen, weer andere kennen een min of meer klein aantal symbolen die in een bijna oneindig aantal gecombineerd kunnen worden om begrippen aan te duiden. Met een strenge wetmatigheid – de syntaxis – wordt voorgeschreven hoe uiteindelijk een complete taal vorm krijgt en de mogelijkheid om ook de zeer fijne nuances van ons leven samen te vatten en in schrift te kunnen bewaren en overdragen. Een alfabet is dus de sleutel tot een code. Diegene die de code kent, kent de inhoud, de taal. In principe is de code ook te begrijpen door een ander. De ene taal is dus een maar tijdelijk geheim voor iemand die een andere taal eigen is. Je kunt verschillende talen leren. Zich kennelijk bewust van het feit dat een taal ook ongewenst door derden kan worden gelezen en begrepen heeft men zich altijd willen bedienen van “geheimschrift”. Het spijkerschrift van de Sumeriers en het schrift van de Kretensers is lange tijd een “geheimschrift” geweest, maar door langdurige analyse en het feit dat elke taal zekere wetmatigheden kent die vergelijkbaar zijn met die in andere talen, zijn ze opgelost; overigens net zoals de hiëroglyfen en het stukje geheimschrift in “het geheim van de Bosplaat” van Kapitein Rob. Ook Cesar gebruikte een geheimschrift –toentertijd niet te ontcijferen maar eigenlijk wel heel erg simpel; koninginnen werden onthoofd omdat hun geheimschrift werd gekraakt en een oorlog werd verklaard doordat een telegram werd onderschept en ontcijferd (het Zimmermann telegram was aanleiding tot de deelname van de USA aan de eerste wereldoorlog).Hoe zit “geheimschrift” in elkaar en hoe kan het ontcijferd worden?

Wat gewoonlijk geheimschrift wordt genoemd moeten we eigenlijk anders noemen. Eigenlijk zijn er twee vormen te onderscheiden. De ene vorm is de zogenaamde code. Morse is er een voorbeeld van. Elke letter wordt door een vast teken vervangen. Je kunt ook elk woord of uitdrukking vervangen door een afgesproken equivalent. Zolang de afspraak tussen de partijen geheim blijft is de code secuur. Er zijn heel wat codes in gebruik. Vanaf familiegebruik tot complete diplomatieke en zakelijke codeboeken toe. Sommige dienen alleen efficiëntie in verkeer. De andere vorm van code is cryptografie. Een bericht wordt hierbij door een sleutel en al of niet met behulp van een machine omgevormd tot iets onleesbaars, bij de ontvangstkant vindt het proces in omgekeerde vorm plaats. In feite komt het er op neer dat het bericht zelf wordt verhaspeld volgens en bepaald algoritme. Het versleutelde bericht kan ook nog eens een of meer keren gecodeerd worden. Alles om wederrechtelijk geachte ontvangst van de inhoud van het bericht zo lang mogelijk of geheel onmogelijk te maken. Er is al heel wat bedacht om het de ander of de vijand moeilijk te maken. Ik zal maar een paar highlights noemen, er is een uitgebreide literatuur over. Echte cryptografie is een vak vol wiskunde geworden; eerder wees ik al op het gebruik van priemgetallen in de cryptografie. Ook het binaire, octale en hexadecimale stelsel nemen intussen een prominente plaats in. Uw computer is met de software in feite een grote codeermachine.

Voor het gemak ga ik uit van ons gebruikelijke Arabische schrift van 26 letters, het alfabet van a t/m z. Als we nu een bericht hebben, moeten we de letters op een bepaalde eenduidige manier eventueel herhaald verhaspelen. We kunnen dat doen door substitutie, transpositie of fractionering. Een eenvoudige code ontstaat door systematisch letters te verschuiven: een a wordt een c, een b een d en een y een a. Dit is dus een substitutiecode. Je kunt ook elke letter vervangen door een bijzonder teken, een paard, poppetje, pijp enz enz. We kunnen ook elke letter van het bericht in het alfabet op een wat ingewikkelder manier veranderen door systematische verschuiving in een aantal parallelle verschoven alfabetten. Voor een vaste systematiek gebruiken we dan een codewoord. In de zestiende eeuw bedacht Vigenère naar aanleiding van een eerder idee de polyalfabetsubstitutie/ transpositie. Hij schreef in een matrix 26 keer het alfabet op, steeds een letter verschoven. Het codewoord onder het bericht geschreven bepaalde steeds welk alfabet wordt gekozen. Deze vorm van cryptografie is al veel ingewikkelder dan een eenvoudig substitutiealfabet. In de praktijk is het onhandig in het gebruik omdat het bewerkelijk is en een foutje snel gemaakt. Er zijn daarom in de loop der tijd al eenvoudige machientjes gemaakt om het proces te vereenvoudigen. Een Bazeriecylinder, in gebruik geraakt aan het begin van de twintigste eeuw, is zoiets. Op een aantal draaibare schijven naast elkaar staan alfabetten (of cijfers of bigrammen) afgebeeld, de schijven worden onderling zodanig gedraaid dat er een codewoord leesbaar is. Een bericht kan dan betrekkelijk eenvoudig gemaakt of teruggelezen worden. In feite zijn het allemaal varianten van substitutie/transpositie. Bij fractionering worden afzonderlijke letters bij het coderen volgens een patrooncode gesplitst in twee afzonderlijke tekens die vervolgens ook nog eens onafhankelijk van elkaar verschoven worden. Hoe dan ook: in alle gevallen is de crux een bekend en vaststaand algoritme om de boel dooreen te gooien. Bij alle gevallen blijft echter de structuur van de onderliggende taal aanwezig. Bij alle gevallen van dergelijke cryptografie blijven dus twee wetmatigheden – die van de taal en het versleutelingsalgoritme - inherent aanwezig en daarin ligt in principe ook de oplossingsstrategie. Bij eenvoudige susbsititie/transpositie blijft zo bij voorbeeld de letterfrequentie onaangetast of herleidbaar. Hoe langer een bericht of hoe meer er worden ontvangen hoe zekerder en in principe eenvoudiger het wordt de zaak te ontrafelen. De enige veilige methode zou zijn of een volledige random-sleutel te maken of om het bericht met zichzelf te versleutelen. Dergelijke one time pad sleutels leveren coderingen die niet te ontcijferen zijn. Shannon heeft dat in zijn Theory of Communication ook kunnen bewijzen. Alle andere codes zijn dus in principe te kraken alhoewel het zeer moeilijk kan zijn. Het probleem is altijd de tijd die nodig is om een bericht te ontrafelen. Als dat dagen of maanden –in enkele gevallen jaren of alleen met een beetje hulp – duurt is het belang van het bericht verloren gegaan. Om het lastig te maken worden er daarom ook vaak nog heel veel onzin berichten extra verstuurd om de ontcijferaars over te belasten. Overigens zijn er waarschijnlijk geen echte random-codes. Een computer die er een genereert doet dat aan de hand van een algoritme. Men heeft wel ruis gebruikt, maar de twee kopieën die men nodig had leverden dan op zich weer een kwetsbare code op die gestolen kon worden.
Eenvoudige handcijfers waren en zijn nog steeds effectief maar naarmate de belangrijkheid toeneemt dient er meer veiligheid in de vorm van complexiteit te zijn, en een vorm van automatisering. De ontwikkelaars van de Enigma-machine hadden dat goed begrepen. In feite is een Enigmamachine met al zijn varianten niet meer dan een ingewikkelde transpositiemachine. Om het allemaal makkelijk te maken waren alle machines voorzien van een zogenaamde reflectorschijf die het mogelijk maakte zowel te vercijferen als te ontcijferen. Met alle voorinstellingen en draaimechanismen was het aantal versleutelingen ongelooflijk groot, zodanig ook dat frequentieanalyse zinloos wordt mede doordat de berichten in het algemeen kort waren. Toch lukte het zelfs voor de veel ingewikkelder “geheimschreibers” de meeste berichten te kraken. Dat kon door niet goed doorziene systeemfouten (een ervan is dat de bedenkers dachten dat een letter nooit in zichzelf mocht worden gecodeerd) en door slordigheid van de gebruikers. Het is ongelooflijk knap en met name een kwestie van verplicht doorzettingsvermogen dat de geallieerden erin zijn geslaagd met name Duitse enigma-achtige codes te kraken. Overigens dient opgemerkt te worden dat Poolse wiskundigen het voorwerk hadden gedaan en dat ook het werk van o.a. Turing (over geautomatiseerde herhaalde bewerkingen, de voorloper van de computer) van groot belang was. Als de Engelse regering overigens van te voren had geweten dat hij homoseksueel was zou het in Bletchley Park wel eens anders uitgepakt kunnen hebben. Waarschijnlijk had men hem geweerd. Doordat hij werd geschoffeerd en niet erkend kon worden pleegde hij enkele jaren na de oorlog zelfmoord. Hij is kreeg pas onlangs eerherstel.

Begin jaren vijftig is er grote maatschappelijke druk om via radio en telex veilig berichtenverkeer te kunnen afhandelen. Dat wordt mede in de hand gewerkt door de economische groei en de opkomst van de halfgeleiders en de chips. Bij IBM werkt Horst Feistel aan veilige openbare cryptografie. Het mondt uit in een cryptoalgoritme met de naam Lucifer. Het is zo ingewikkeld dat de NSA vreest dat zelfs haar supercomputers de code niet zal kunnen kraken. Ze probeert dan ook de code te verkleinen of “lek” te houden. Ze konden uiteindelijk bedingen dat het aantal bits terug werd gebracht, voor particulier gebruik bleven er genoeg sleutels over vonden ze. Zodoende werd deze aangepaste Feistelcodering de Data Encryption Standard (DES). De versleutelingscode – het algortitme – is openbaar de sleutels moeten natuurlijk op een veilige manier over een openbaar kanaal worden verstuurd. Hoe kan dat?
A stuurt een bericht in een dichte doos (het versleutelde bericht) naar B. Maar de sleutel mee sturen kan natuurlijk niet. Toch wordt het bericht verstuurd. B ontvangt het en doet de doos extra dicht met behulp van zijn code en sleutel B, hij stuurt het bericht naar A retour. A doet met zijn sleutel de doos half open door sleutel A weg te nemen en stuurt de doos terug naar B die tenslotte de doos openmaakt met zijn sleutel B en het bericht leest. So far so good, voor twee personen en een berichtje. Maar om heel veel berichten op deze manier veilig te versturen krijg je een sleuteldistributieprobleem. De wiskundigen Diffie, Hellman en Merkle losten dit probleem op. Wat ze bedachten was geniaal. Tot nu toe (en dat geldt voor alle cryptografie tot zover) is elke versleuteling/ontsleuteling de facto een symmetrisch proces. Ik heb eerder bij het bespreken van wiskundige functies het begrip even-oneven en symmetrie heel kort genoemd, net als rekenkundige operatoren die wel of niet commutatief en associatief zijn. De genoemde heren bedachten een asymmetrische vorm van versleuteling. Een onderdeel ervan was eigenlijk al door Vernam en Lorentz gebruikt in de Baudot-Telex uitvoering van de Enigma door codes te Exlusiv Or-en. Het idee komt er op neer om op een speciale manier te rekenen: het zgn modulair rekenen. Deze methode is niet symmetrisch en de uitkomst van een som kan door beide partijen herleid worden tot elkaars bijdrage. Allebei krijgt men precies zijn noodzakelijke deel van de oplossing van een som, precies het benodigde deel van de code. Het klinkt bijzonder contra-intuïtief maar het kan. Het probleem was alleen nog het vinden van “de som” en een handiger manier van het heen en weer sturen van sleutels zoals in bovengenoemd voorbeeld waarbij beide betrokken partijen als het ware steeds op elkaar moeten wachten. Eigenlijk moet het bericht ergens gewoon geparkeerd kunnen worden, aangeboden en gelezen op elk willekeurig moment zonder dat intussen iemand erbij kan. De DES-code met individuele codes van ongeveer 1975 moest nog iets slimmer worden. Die slimmigheid kwam in 1977 van Rivest, Shamir en Adleman. In de standaardencryptie zit een moduul dat tezamen een publieke asymmetrische code vormt waarmee elk bericht kan worden versleuteld. Elke gebruiker beschikt verder over een eigen persoonlijke code om elk bericht voor hem te kunnen decoderen. Beide codesleutels samen vormen de basis voor de unieke versleuteling. Alles wordt de facto omgezet in een zeer grote cijferreeks, zowel het gecodeerde bericht als wel de erin opgesloten codegetallen van de gebruikers. Het geheim is dat als N heel groot is de factoren p en q slechts heel moeilijk gevonden kunnen worden. Voor N worden zeer grote priemgetallen gebruikt. N is tegenwoordig al groter dan 10E308. Honderd miljoen PC’s doen er dan al langer dan 1000 jaar over om een oplossing te vinden. Als p en q groot genoeg zijn (en dat zijn ze) is de RSA code (naar de namen van de bedenkers) praktisch gesproken niet te kraken. Het wachten is op de wiskundige die een snelle manier vindt om een groot priemgetal te ontbinden. Dat is nog steeds niet gelukt! RSA is dus voorlopig nog veilig genoeg.
Overigens, er zijn ook veel simpeler systemen, die niet gekraakt konden worden. In de koude oorlog , de tijd van de NumberStations, was er een Russische code –de VIC, naar de ontdekker/gebruiker Raino Hayhaynen codenaam Victor, die zo ingewikkeld was dat het verrassend op een one time pad leek. Er zijn ook nu nog talen en geschriften die niet ontcijferd zijn. Misschien een leuke hobby……
Een ander probleem – en dat is sinds WW2 niet veranderd – is dat de gebruikers niet altijd zorgvuldig omgaan met de aangeboden veiligheid. Allerlei virussen en het net gesignaleerde lek in OSS- HeartBlead is daar een voorbeeld van.

Dick vd Berg pa2dta

Ster inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactiefSter inactief

Beste om Gast,

Formules en functies

De vorige keren heb ik bij alle voorbeelden nauwelijks extra symbolen gebruikt in de voorbeelden. Op enkele “automatische” uitzondering na. Zelfs met en na de eerste inleiding was het wel duidelijk dat wiskunde een belangrijk gereedschap is om de natuurwetenschappen bondig en algemeen te formuleren. Natuurkunde op zich is al moeilijk genoeg en dan is er ook nog zoiets als lastig gereedschap nodig. Vroeger zei ik vaak en ik herhaal dat hier nog maar eens: natuurkunde is de moeder der wetenschappen en wiskunde is de schoonmoeder; je krijgt het ongewenste familielid er altijd bij. Toch is er iets verzachtends te melden. Veel schoonmoeders vallen bij nader inzien wel mee. De mens lijdt het meest aan het lijden dat hij vreest. Er is veel vrees voor “die moeilijke onbegrijpelijke wiskunde”. Ik heb jaren dit soort vermeend moeilijke dingen moeten uitleggen ook aan niet-beta’s en altijd gezegd dat begrip het belangrijkste is. Er goed mee kunnen rekenen komt daarna als te oefenen handvaardigheid. Voor deze serie causerieën is het ook ondoenlijk om uitgebreid en serieus wiskunde te gaan doen. Het is ook nog eens onmogelijk zonder ouderwetse hulpmiddelen en face to face. Ik vrees dat zelfs bij mijn gezelschap amateurs nu er al weer iets onaangenaams naar boven komt, zelfs als we toch weten dat de meesten al met goed gevolg de zendcursus hebben afgerond. Velen zullen ook nog wel ergens een min of meer technische opleiding als achtergrond hebben al is het misschien lang geleden. Wanhoopt ende despereert niet! Bovendien het is slechts voor de lol!

Een vorige keer ging het over operatoren etc. Je zegt dat je 2 bij 3 optelt en schrijft 2 + 3 = 5. In deze formule kan ik niet elk getal willekeurig invullen. Ze horen eenduidig bij elkaar. De formule is een voorschrift dat precies noteert wat er aan de hand is. Ik kan ook het volgende vragen: welk getal bij 2 opgeteld levert de som 5 op. Dat kan ik schrijven als: 2 + ? = 5.
Zoek uit wat er op de vraagteken moet komen te staan. Antwoord dus 3. Ik kan ook iets anders vragen waarvoor ik op moet schrijven ? + ? = 5. Als antwoord kan ik geven dat 2 en 3 voldoen; maar het vervelende is dat ik niet precies ben geweest. Immers de ene vraagteken betekent 3 en dan is de andere gelijk aan 2. Twee gelijke symbooltjes staan dus voor iets anders. Vinden we niet fijn. Beter was geweest a + b = 5 met als uitkomst bv a=2 en b=3. Een andere oplossing was natuurlijk a=3 en b=2 met dezelfde onzorgvuldigheid. Dat komt omdat het gevoel van de wiskundige zegt dat symbolen altijd voor iets “vastigs” moeten staan. a=a en niet a=b. a en b zijn vaste waarden, constanten. Voor zaken die meer waarden kunnen aannemen worden van oudsher vaak letters x, y en z gebruikt. Getallen worden genoteerd als a,b,c etc. Binnen een geheel staat elke letter steeds voor hetzelfde, een constante die wel elk getal kan aannemen. Je kunt nu alle breuken noteren als a/b en alle uitkomsten van het bovenstaande sommetje als x + y = z met z=5. Bij dit soort formules kun je natuurlijk alle andere bewerkingen zoals wortels en machten tegenkomen. Kijk nog maar eens naar het polynoom dat ik eerder heb opgeschreven.
De wet van Ohm beschrijft een proef die heel veel keer is gedaan. “De stroomsterkte door een draad is evenredig met de aangelegde spanning”. Dat kun je heel kort samenvatten in een relatie: I = constante x V. de evenredigheidconstante is terug te voeren op een eigenschap van de gebruikte draad. Het heet geleidbaarheid G. De wet luidt dus in formule I = constante x V = GxV=GxU. Je kunt ook schrijven U = I/G en 1/G = R (weerstand) waardoor de uitkomst is U=IR. De wet van Ohm. U, I en R zijn symbolen die in relatie tot elkaar staan. De keuze voor letters als symbool is niet geheel willekeurig, maar veelal door de geschiedenis bepaald. Voor alle operaties kun je de symbolen opvatten als gewone getallen, alleen heb je de boel voor elk mogelijk geval geünificeerd. De in formulevorm genoteerde wet is dus universeel en bijzonder compact geformuleerd. Het is ook nog een heel eenvoudige. Je kunt de evenredigheid er direct aan aflezen. In andere formules kun je vaak andere verbanden direct herkennen. Soms kom je erg complexe en moeilijk te interpreteren formules tegen. In de kwantummechanica bij voorbeeld moet je heel erg wennen aan het interpreteren en begrijpen van de wiskundige taal die je nodig hebt en waar de “oplossingen” als het ware “vanzelf” uitkomen.
Als je een wiskundig gebouw optrekt begin je uiteraard met de eenvoudige zaken. Zoals de wet van Ohm een wiskundige formulering van een fysisch verschijnsel is in de vorm van een lineair verband zijn er ook kwadratische en andere wetmatigheden. Op de middelbare school krijg je te maken met een flink aantal wiskundige formuleringen die de naam functie gekregen hebben. Een functie is een voorschrift om iets te doen met de in te voeren variabelen bv x,y,en z waarna er een eenduidige uitkomst uitkomt. Heel vaak kun je functies mooi in een plaatje, een grafiek, weergeven. Daar heb je weer een coördinatenstelsel voor nodig. In een aantal gevallen kun je in een vlak (twee dimensies) af beelden. Anders heb je drie dimensies nodig (afbeelden m.b.v. drie loodrechte assen zoals ribben van een kubus).
Zeer bekende functies zijn de kwadratische (ze leveren parabolen, hyperbolen en ellipsen op) en andere machtsfuncties (bv wortelvormen). Er zijn ook nog erg veel andere zoals de logaritmische en hyperbolische functies. Bij wat ingewikkelder wiskunde heb je ook functies waarin de vreemde getallen die ik eerder noemde voorkomen. Dat zijn complexe en transcendente functies. Je moet je goed beseffen dat je in bijna alle functies die een relatie leggen met een natuurkundig verschijnsel in de wereld vrijwel altijd drie plaats coördinaten nodig zijn en dat je met vectorgrootheden te maken hebt. Dat betekent ook dat er vaak andere rekenregels gelden dan die voor gewone getallen en eenvoudige functies gelden. Ik sprak daarover bij operatoren en operandi.
In de natuurkunde komen eigenlijk betrekkelijk weinig lineaire verbanden voor. Soms zijn verbanden op beperkte schaal wel te lineariseren, dat is natuurlijk een makkelijke benadering. Er zijn bekende kwadratische (of omgekeerd evenredig met het kwadraat) verbanden. Voor ons een zeer bekende is de Wet van Coulomb voor het elektrische veld. In scalaire formulevorm F = k x qQ/r2 . Een andere wet die de sterkte van het magnetische veld beschrijft kan eigenlijk alleen maar zinnig als een vectorformule worden genoteerd. Je krijgt de Wet van Biot-Savart. Dat moet wel omdat de krachtlijnen gesloten cirkels zijn. Denk nog eens na over hetgeen ik eerder heb gezegd over symmetrie etc.. Je kunt voor een rechte stroomvoerende draad er wel een scalaire afgeleide van maken die luidt 2πr x B(r) = constante x I, maar dan moet je in een plaatje per se de richting aangeven die van de richting van de stroom afhangt. Het is dan de wet van Ampère.
Het kan ook in een bolvormig of cylindrische coördinatensysteem. Dat heb ik al eens genoemd in relatie tot een windveld. Als je dergelijke systemen nodig hebt moet je ook met hoeken kunnen werken. In de wiskunde is er een speciaal onderdeel dat zich daar mee bezig houdt: de goniometrie. Daar heb je speciale niet- algebraische functies zoals sinus, cosinus en tangens. We kennen ze uit de wisselstroomtheorie. (ze worden aangegeven door y = sin x etc; bij wisselspanning ziet het er uit als Vt = Vmax x sin (2πft + φ); Vmax is de amplitude, f frequentie, φ de fasehoek). Bij het rekenen met vectorfunctie krijg je dus zeker met sinussen etc te maken. Bovendien kun je niet om complexe functies heen omdat er een prachtig stuk wiskunde is die we te danken hebben aan personen als Gauss en Euler waarin het verband tussen goniometrie en complexe/transcendente functies wordt gelegd. Bij de wiskunde van de wisselspanning gebruiken we daarvan ook een deel: de complexe rekenwijze. Daarbij kom je dus het gekke getalletje – de operator i – ook weer tegen. Omdat het een rotatie over 90 graden inhoudt kunnen we fasedraaiingen dan gemakkelijk automatisch mee berekenen.
Even dat rare getal i (bij elektriciteit vaak als j geschreven). Het is gedefinieerd als i2 = - 1. Wat is i dan voor getal. Het is niet gelijk aan nul, want nul-kwadraat = nul. Het is ook niet groter dan 0, positief dus, want een positief getal in het kwadraat is ook positief. Het kan ook niet negatief zijn want we weten dat een negatief getal in het kwadraat ook positief is (heb ik al eerder gebruikt bij vermenigvuldigen met -1). We kunnen het dus niet op onze getallenrechte afbeelden. We kunnen er wel de “onmogelijke” vergelijking y = √ -4 mee oplossen. Zo: y = √i2x 22 = 2i !! En dit is maar een heel eenvoudig sommetje. Je moet getallen waarin i voorkomt complexe/imaginaire getallen afbeelden in een vlak met twee coördinaat assen: een reële en een imaginaire as.

Differentialen en integralen
Bij de wiskunde die je al bij tamelijk eenvoudige (meerdimensionele) natuurkunde nodig hebt heb je absoluut enkele gereedschappen nodig die differentiaal- en integraalrekening worden genoemd. Newton is de eerste geweest die de differentiaalrekening heeft bedacht om zijn zwaartekrachttheorie en zijn bewegende planeten te kunnen verklaren/berekenen. Wat deze wiskunde met functies doet (het is dus te vergelijken met een operator) is er een nieuwe functie van maken die de verandering van de functie bij kleine verandering van de argumenten, de variabelen, aangeeft. Newton noemde het “de fluxie ervan”. Het begrip is ook in de elektrische en magnetische velden overgebleven, daar heet het flux ( aangegeven met Griekse letter psi). Als voorbeeld gebruik is een rijdende optrekkende en/of remmende auto. Het stuk weg dat per tijdseenheid wordt afgelegd noemen we snelheid. De snelheidstoename per tijdeenheid heet versnelling (accelaratie, hoe meer hoe beter?) Het is wiskundig de afgeleide de gedifferentieerde snelheidsfunctie. Je krijgt zodoende voor veel mensen onbegrijpelijke rare maten. De snelheid is km/uur of m/s. Een snelheidstoename meet je dus in (m/s)/s, je schrijft m/s2. Natuurlijk is het niet mogelijk een seconde met zichzelf te vermenigvuldigen. We zeggen wel “per secondekwadraat”. Die (afgeleide) eenheid van versnelling heeft de dimensie meters per secondekwadraat. Soms kregen grootheden in de natuurkunde een merkwaardige samenstelling in hun dimensie, vaak wordt er dan een nieuwe naam voor bedacht. De eenheid van spanning “volt” is er zo een. We hebben in de natuurkunde maar een paar “echte onvervalste basis eenheden” en een boel afgeleide samengestelde eenheden (met een aparte naam ervoor die meestal heel snel gemeengoed wordt).
Het omgekeerde van differentiëren heet integreren. Ook hierdoor wordt een nieuwe functie toegevoegd onder zeer strikte voorwaarden. Grote namen zijn hier ook Newton (logische als je differentiëren uitvindt) Leibnitz en Gauss. Integreren levert ook een verbinding tussen de algebraische en de ruimtelijke kwaliteiten van functies, zoals inhoud en oppervlak in meer dimensies. Differentiëren legt een verbinding met wat we velden noemen. Beide gereedschappen leveren ook een aparte serie operatoren op. Omdat de onderliggende functies vaak met vectoren te maken hebben zijn er ook verschillende klassen van operatoren: scalaire en vectoriele. Ze krijgen speciale symbolen en namen zoals divergentie, gradiënt en rotatie, del en nabla, laplaciaan enz. Er is ook nog een verbinding met matrixrekenen. Omdat deze relaties bestaan is het vaak mogelijk om verschillende wiskundige modellen of notaties voor een en hetzelfde te gebruiken. Elk heeft zijn eigen voordeel of nadeel.
Door de differentiaal en integraalrekening krijg je ook een aparte groep nieuwe functies/vergelijkingen: differentiaalvergelijkingen in verschillende soorten. Het zijn moeilijke en lastige dingen die verschillende oplossingen leveren of soms niet eens oplosbaar zijn. In natuur en techniek kun je er niet omheen. Een aantal van deze vergelijkingen en/of hun oplossingen (verschillende polynomen) hebben bekende namen gekregen zoals Chebisjev, Laguerre en Hermite. In filtertechniek kom je zo de naam Chebisjev niet voor niets tegen. Ook in de kwantummechanica kom je steeds differentiaalvergelijkingen en hun specifieke oplossingen tegen.
Eenvoudige toepassingen van dergelijke wiskundige technieken levert bij voorbeeld de laad-en ontlaadkarakteristiek van een condensator over een weerstand:
U(t) = Uo ( 1 – e –t/RC) Je ziet in deze formule het begrip RC-tijd terug en een speciale machtsfunctie de e-macht. Het getalletje e = 2,71….. is heel bijzonder transcendent); het is het grondtal van de natuurlijke logaritme, ook al een bijzondere functie.
Diegenen die verwachten dat ik allerlei zaken die met elektriciteit en magnetisme samenhangen hier eenvoudig en begrijpelijk voor ieder kan voorschotelen vergissen zich (laat staan kwantummechanica of relativiteitsleer). Het is zonder wiskunde van enig niveau niet mogelijk. Niet voor niets wordt in de eerste jaren HBO of Academische studie een zware last op de studenten gelegd, namelijk om bijna achteloos, een geweldige hoeveelheid mathematisch gereedschap te begrijpen en paraat te hebben. Daarom moet mijn praatje wel voornamelijk kwalitatief van aard blijven.

Dick vd Berg pa2dta

   

Website Laatst Gewijzigd

Last Modified: maandag 15 april 2019, 12:07:22.
   
© 2017 Kees Haremaker